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nopu@wiki内検索 / 「線形代数の行列表現」で検索した結果

• 線形代数の行列表現
  お膳立て 行列の代数構造は線形空間の理論とは別に定義されていることに注意する。 K  体 X  K上の線形空間 Xの基底 即ち， 以下では，基底ベクトルを並べた行列Bもまた，「基底」と呼ぶ。 任意のに対して，xの基底Bによる表示あるいはxのB座標 と呼ばれるベクトルが唯一つ存在して， 基底ベクトルはXの元であるのに対し，成分を並べたベクトルはK^Nの元であることに注意！ Xの元xに対して，xのB-座標を対応させる線形写像 は，同型写像である。 これによって XをK^Nと同一視する。 従って特に，Xの内積としてK^Nの標準内積が入る。 例 特に， 注意 この同一視は，「基底の取り替え」ではない。 K^N の標準基底をと書くことにすると， これはXの一つの基底と同一視することができるが，一般の基底Bに対し...
• 目次
  ...固有空間への射影 線形代数の行列表現 テンソルの基本アイデア テンソル積、n重線型写像との付き合い方 テンソル計算 テンソル積の成分計算 特異値分解と一般化逆行列 行列の近似など 行列ノルムいろいろ 線形回帰 実数論・集合論・距離空間 実数の完備性 (Abbott) 実数の完備性公理，区間縮小法，単調収束定理，Bolzano-Weierstrass，Cauchy s criterion 実数の位相Abbott 数列 Abbott 順序集合 領域 領域で成り立つ性質など 距離空間 選択公理 選択公理，整列可能定理，Zornの補題，Banach-Tarski 位相論 位相の各公理の関係 開集合系 開集合系の公理，開基，準開基 近傍系 近傍系，近傍系の公理，基本近傍系 収束 （数列，点列），集合の上極限・下極限，（ネットとフィルタ），距離空間...
• 院試まとめ
  早稲田 共振回路がだるかった。 相変わらず情報が難しい。Kraftの不等式が分かってれば大丈夫。 情報理工 数学 1.1 行列の性質を問う問題。専門の数学でも線形を重視しているようだった。 線形代数は数値計算に必須だから十分慣れていてほしいということか。 数学 1.2 複素関数は留数積分ができれば大丈夫。留数１個。 最後はナントカの定理の証明みたいだったけど式のたかが多項式。 数学 1.3 確率は和の分布を求める話し。畳み込みが計算できれば無問題。 確率は計算力。しかし見通しがないと折れる。 数学 2.1 線形がいよいよだるい。Jordan標準形は必須でその先を聞いてくる（SVDとか）。 知識勝負だが諸理論の流れが掴めていれば大丈夫。 数学 2.2 ベイズ推定の問題。前日ボコボコにされて復習してきたので気合で最後まで解く。 数学 2.3 ...
• 行列
  次も参照 Matrix Reference Manual The Matrix Cookbook 行列の見方 0. 環Rの元を矩形状に並べたものを行列という。 同じサイズの行列Mat(m,n)は，和に関してアーベル群である。 また同じサイズの正方行列の全体M(n)は，さらに「行列の積」を入れて非可換環(結合的多元環，代数)になる。 この積はCayleyが初めて使ったとされる。 M(n)は零因子を持ちうる。従って整域でない。 特に，M(n)の部分集合で，逆元を持つ元だけを集めた体GL(n)を正則行列という。 正則行列の重要な部分体として，直交行列（ユニタリ行列）や対称行列（エルミート行列）がある。 前者は内積を変えない線形写像であり，行列式の絶対値が1という特徴付けをもつ。正規直交基底を並べた行列と見ることもできる。 後者は二次形式の議論において重要であり，必...
• 単位の分割
  第二可算・ハウスドルフのもとで有効。 線形代数における類似の概念として，直和分解に付随する射影作用素の組がある。 笠原本ではこの組を単位の分解と称していた。対角化と固有値問題参照 このとき，１の分割を用いて， 多様体上の積分 リーマン計量の存在 数空間へ埋め込み などができる。 Th. １の分割
• 1-point
  雑多な気づいたことなど。 「関数」とは、実数に値をとる写像である。 「作用素」とは、関数を関数に移す写像である。 「場」とは、４変数関数のことである。 「エネルギー」とは，「関数」のことである。定義域の変数間に適当な対称性（変換不変性）を持つことによって，保存則が生まれる。 ODEでも、解が唯一に定まらないときがある。 逆にPDEでも、解の存在と唯一性はタイプ別に示されている。 「有界線形作用素」とは，行列のことである。 「クラインの幾何学」とは、クライン(1849-1925)が「エルランゲン目録」(1872)に宣言した幾何学の定義であり、「幾何学とは、変換群の下で不変な性質を研究する学問である。」 この定義によって、第五公準をめぐる一連の研究で論理的に存在することが発見されていた非ユークリッド幾何学（ボヤイ、ロバチェフスキー、ガウス）や、デザル...
• 切断と引き込み
  ファイバーバンドルについても参照 線形代数での例 レトラクションは、から いくつかの(全てでなくて良い)成分ベクトルを取り出す写像。 射影っぽいけど、射影行列ではないことに注意。 射影行列は成分ベクトルを与えるわけではなく、射影空間の元を与える。 切断は、成分ベクトルを適当な空間の元として実現する写像 特異値分解に表れる 列直交行列は、 成分ベクトルに作用して p次元空間の元を作り出すので、切断。 これに対するレトラクションは共役行列で与えられる。 実際、これはp次元空間のベクトルに 作用して(単位ベクトルで内積をとるので成分が出てくる)、 はじめのr個の成分を取り出して並べたベクトルを作る行列である。 成分を取り出すだけなので、射影行列ではない。 なお、はp次元空間の元の成分を削って再びとしてp次元空間の元に戻す写像であるから、これが射影行列である...
• 三角行列
  代数構造 下(上)三角行列は通常の和と積で非可換環(多元環, 代数)をなす。 (i) (ii) Rem. 積は非可換だが，対角成分のみに着目すれば可換であり， しかもそれは対角同士の積である。 Ex. 固有値 Th. 三角行列の固有値は，その対角成分である。 の固有値は 1, 4, 6 Schur分解 任意の正方行列は、ユニタリ相似変換によって上三角行列にすることができる。 特に，対角成分は固有値である。 i.e. 任意の正方行列は (i) 三角化可能で、しかも (ii) 元の行列とユニタリ相似である。 そして、三角行列の固有値はその対角成分であるから、 (iii) 元の行列の固有値は三角化さえすれば求められる。
• 対角行列
  幾何学的意味 軸方向の拡大縮小 左からの作用　＝　行毎のスカラー倍 右からかければ列毎のスカラー倍になる。 代数的性質 1. 対角行列は可換環（結合的多元環、代数）である。←三角行列としての性格 (i) (ii) (iii) 2. 対角行列は上三角かつ下三角である。 3. 対角行列は対称行列である。 従って特に、正規行列である。 Rem. 三角行列と対称行列とは，全く異質の行列であることに注意！ 対角行列のスペクトル分解 対角行列は正規行列であるから，特にスペクトル分解ができる。 （自明な対角化可能性から明らか） ここから特に， は第一成分を取り出す射影であることなどが分かる。
• 直交行列とユニタリ行列
  定義 U*U=UU*=I ユニタリ（直交）行列は正則かつ正規である。 定理 ユニタリ（直交）行列の固有値の絶対値は1 逆 正規行列の固有値の絶対値が1ならばユニタリ（直交）行列 定理 ユニタリ（直交）行列は内積を保つ。 命題 ユニタリ（直交）変換は固有値を変えない。←相似変換の性質 定理 任意の正方行列は、ユニタリ変換によって上三角行列にできる。（Schur分解） Schur分解の対角成分は元の行列の固有値である。 系 直交変換に限ると、実Schur分解止まり。 直交行列の生成 X  n-dim 線形空間   X の有限個の一次独立なベクトル Gram-Schmidtの直交化法は、次のようになる。 ととる。 以下を繰り返し。 Rem は Span U_t への射影ベクトルを与える。 実際、 特に、...
• 行列の微分
  ベクトルで微分をするには、元の型を保ったまま展開するのが基本。 これは慣習であって、必ずしもそうとは限らない。列ベクトルを列ベクトルで微分して行方向に展開してしまうこともある。 ヤコビ行列との関係 ヤコビ行列は，独立変数xを横方向に伸ばし，従属変数yは縦方向に展開するのが良いらしい。 この向きは，重積分の変数変換などでは（行列式にしてしまうので）どちらでも支障はないが， テイラー展開などで左から列ベクトルに作用させる場合などには重要である。 Wiki, 幾何学B で出てきたのは次の形だった。 特に幾何学Bでは，転置や逆関数をとったりするから，向きに気をつけてさえいればどっちでもよさそうだった。 しかし，Taylor展開を自然に書くためには，xを横に伸ばす必要性が出てくる。 cf. １次のTaylor展開 行列関数を微分 行列関数Fの行...
• 特異値分解と一般化逆行列
  次の一般化された固有値問題を解いていることになる。 として， ただし このとき， として， 実際， に作用させてみると， ここで， は，の元をを基底とした場合の成分ベクトルに対応付ける線形作用素である。 したがって特に， は，成分ベクトルからのベクトルを復元する作用素である。 （要するに線形同型） したがって，とは， の元を成分ベクトルに写し， 各成分をスカラー倍して， の元として埋め込む作用素に他ならない。 目標 1. 一般の（正則あるいは正方ですらない）行列 A の標準形を作りたい。 2. 直交行列ないしユニタリ行列（つまり正規直交性を保つ座標変換） アイデア 任意の行列Aに対し， の形は常に半正定エルミート行列 従って必ずユニタリ行列によって対角化することができて，しかもその固有値は正。 特異...
• 行列式
  Def. 行列式 |A|がAの行列式であるとは，次が成り立つことをいう。 1. 2. 3. Th. 上の条件を満たす関数は唯一定まり，以下で与えられる。 ここで，SNはN次対称群。 すなわち，N次置換群の全体。 あるいは，有限集合Nの全単射の全体。 Th. 行列式の公理のうち，(1)と(2)を満たす関数f(A)に対して，以下が成り立つ。 Th. 行列式は転置をとっても同じ 積の行列式は，行列式の積にできる。 Def. cofactors; 余因子 行列Aのi行とj列を潰して得られる行列をとする。 Aの余因子Δijとは，次で定義される行列式である。 各成分を余因子にもつ行列を，余因子行列（adjoint）といい，adj A と書く。 Th. 余因子展開 行列Aの余因子（cofactors）Δijを用...
• 形式
  数空間への写像を関数(function)という。 ベクトル空間Vから係数体Kへの写像 を形式(form)という。 特にVとして関数空間をとっている場合は，汎関数(functional)ともいう。 以下では， field m-dim vector space on K とする。 一次形式，線形形式 linear form 一次形式の全体はふたたびベクトル空間になり，これを双対空間(dual space)という。 双一次形式 bilinear form 内積の一般化 後述する(0,2)-tensorである。 内積の公理参照 正定値(⇒対称)かつ非退化な双一次形式が狭義の正定値内積である。 有限次元では必ず、適当な行列Aをとって次のように表現できる。 2-form 歪対称(skew-symmetric)双一次形式 多重線形形式 ...
• 行列の分解
  連立方程式との関係 連立方程式をとく方法3つ 1. 掃き出し法 → LU分解 2. QR分解 3. SVD 三角化・対角化という観点 LU分解  三角行列による三角化 QR分解  直交行列による三角化 SVD   直交行列による対角化 LU分解の系譜 LU分解の系譜は掃き出し法でよく使われる。 また不完全Choleskyは共役勾配法の前処理として使われる。 LU分解 任意の横長行列に対して存在する。 ただし のときは，不要 LDU分解 LU分解を同値変形して得られる。 ただし, さきのLU分解のUに対して，が成り立つ。 (もう少し厳密に条件を与えて)LDU分解は一意である。 Cholesky分解 Aが正定値対称の場合は，LU分解から の形を導くことができる。これをCholes...
• 冪零行列
  Prop. 下三角成分と対角成分が0の行列は，べき零行列である。 Rem. 逆は必ずしも成り立たない。 Th. 正則行列との関係 に対し， は正則行列で，その逆行列は で与えられる。
• 計画行列
  最小二乗問題 回帰モデル 定式化 minimize 計画行列( design matrix ) 正規方程式( normal equation ) 計画行列の見方1 基底関数は入力を特徴空間へ写像していると考えると， として，問題は 空間の入力をとる線形回帰モデル による線形回帰に帰着する。 このとき計画行列は単に となる。 つまり，入力データを行順に詰めた行列である。 計画行列の見方2 関数を並べたものだと思うと，以下はグラム行列とみなせる。 計画行列の見方3 添字付けられた関数の「集合」とみなす。 「データ」を実数全体からとると，一本一本は完全に関数を記述することになる。 添字集合にも実数全体をとると，関数族は新たに一つの関数とみなすのが自然である。 逆に...
• Jordan標準形
  環論の準備 イデアル R：Ring, R⊃I Sub Set IがRの(左)イデアルとは， 1. 2. ←ここが ar なら右イデアル。可換なら両側イデアル。 イデアルの生成元 が生成するイデアルとは，次で与えられる。 (S)はSを含む最小のイデアルであり，Sを含む全てのイデアルの共通部分である。 多項式環 実数体上の多項式環 を考えることにする。 体上の多項式環はユークリッド整域である。即ち，割り算の定理が成り立つ。 さらに，素元分解整域である。（ED ⇒ PID ⇒ UFD） Lem. 互いに素 1. 多項式f,gが互いに素とする。このとき，適当な多項式a,bがあって， とできる。 1 上の関係式に正方行列Aを代入したものも成り立つ。 2. 互いに素な多項式の数を増やしても成り立つ。 2 行列多項式で...
• 行列演算に関する特殊な記号
  便利な記号 各成分に作用させるカッコ 性質 以下で，(\star)は成分毎の積 １点だけ１の行列 第p成分だけ１の列ベクトル  第q成分だけ１の行ベクトル  (p,q)成分が１の行列  性質 (1). (2). (3).
• 正則行列
  環にはならない(零元を持たないため，和に関して群をなさない)ことに注意！ 正則行列の特徴付け 一般線形群GLの元 線形同型 Def. 逆行列を持つ正方行列 Th. 正方行列Aが左（右）逆行列Xを持てば，Xは右（左）逆行列である。 Th. 実正方行列Aに対して，以下は同値 1. 正則である。 2. 行列式が非零 3. Rank A = n (full rank, 非退化) 4. Ker A = {0} (faithful) 5. Aがbijection 6. 各列（行）ベクトルが線形独立 7. 固有値が非零 8. 非霊ベクトルの像は非霊 Rem. 以上の条件は，整数値行列では必ずしも同値でないことに注意する。 つまり，逆行列の成分として有理数をとらなければならない場合には， 整数行列の範囲では逆行列を持たない，つまり正則でないというこ...
• 行列の極限と指数対数
  位相の入れ方 リー群リー環（行列の指数関数が活躍する）などの文脈ではフロベニウスノルムで位相を入れることが多い。 行列とベクトルの並べ替えによる線形同型 をとり， によってノルムを定義すると，これで等距離同型(isometry)になった。わけ。 このノルムで， によって収束を定義する。 つまり有限次元ユークリッド空間の標準位相であるから，成分毎の収束と同値。 作用素ノルムで考えてもおｋ（フロベニウスと同値な位相を誘導する） 行列ノルムの性質（劣乗法性）←最大値ノルムは満たさない。フロベニウスノルム，作用素ノルム，シャッテンノルムはおｋ 極限の基本 公式 「群演算は連続」 連続写像 （Y は適当な位相空間。実数体，行列空間など） 「fがAで連続」という条件は，以下の３つの条件とそれぞれ同値 点列連続 逆像が開写像...
• 射影行列
  線形空間の射影 V  有限次元ユークリッド空間 transform が射影であるとは， 冪等(idempotent)であることをいう。 このとき もまた射影であって，その像空間Im(I-P)は像空間Im(P)の補空間である。 従って，射影Pは元の空間Vを直和分解する。 また逆に，任意の直和分解 に対して射影Pが存在する。 さらに， Hermitian のとき直交射影であるという。 この条件は，行列としては Hermitian であることを示す。 直交射影によって得られる補空間は直交補空間である。 Rem. 正方行列に対しては，全射ならば全単射であり，従って必ず逆写像が存在するから，切断を考える意味は失われる。 一方，一般の長方行列に対しては，全射であっても必ずしも単射でないから，切断を考えることができる。 Lem. 一般の長方行...
• dyadic product （外積, outer product）の性質
  特異値分解と一般化逆行列も参照 あるデータ列に対する分散共分散行列なんかは，dyadic productで与えられる。 ただし， は適当な特徴空間への写像。 Definition Def. as Tensor Product 基底を１つとって固定する。 の成分表示を， とおく。 このとき，x と y の Dyadic Product とは，以下で定義されるテンソル積である。 Dyadic Product の成分表示 Dyadic はまた，次のように行列として成分表示することができる。 即ち，ij成分は基底のテンソル積の係数を表している。 x y^T の形の積を，Outer Product などと呼ぶこともある。 Dyadic Product の性質 成分表示から分かるように，各行ベクトルは互いに平行である。 列ベクトルもまた...
• 対角化と固有値問題
  一次独立と直交の関係 内積があれば一次独立系から正規直交系を作り出すことができる。 一方，直交系は一次独立系である。 一次独立にならない（縮退）系でも，適当な摂動を入れて一次独立とみなすことができるが， それを正規直交系にしても，限りなく０度に近い角度を９０度に広げるようなもので， 歪みが大きく表れてしまうことには留意すべき。 半単純 Def. 半単純 線形写像 A V→V（すなわち正方行列A）が半単純とは， Aの固有ベクトルがVの基底をなすこと。 Def. 対角化可能 正方行列Aがある対角行列Dと相似になること。 すなわち正則行列Bがあって， とできること。 Th. 半単純⇔対角化可能 [半単純⇒対角化可能] Aの固有値と対応する固有ベクトルをそれぞれ以下のように並べたものをとる。 このとき， が成り立つ。 固有ベクトルは線形独立なの...
• 空間の相関図
  代数構造，位相構造，順序構造 とか。 数 自然数 特徴づけ ペアノの公理とか？ 他との関係 加法に関して群にする　→　整数 整数 特徴づけ 有理整数環 一意分解整域(UFD) 単項イデアル整域(PID) 他との関係 乗法に関して群にする　→　有理数 有理数 特徴づけ 有理数体 他との関係 完備化　→　実数　（実は公理） 代数的閉包　→　複素数 実数体 特徴づけ 完備性 Rnの系列の中で見れば，唯一 n=1 の場合だけが順序体 複素数体 特徴づけ 代数的閉体 複素関数では，正則関数と解析関数が一致する。 組み合わせ 有限次元ユークリッド空間 特徴づけ ユークリッド距離による位相を入れる。 ノルム空間 　有限次元空間の任意の２つのノルムは互いに同値　←つまり，ノルムは本質的に１つしか入ら...
• 行列の微分3
  行列の積と同じ形式で作用させる 微分作用素を並べた行列 関数を並べた行列 行列の積と同じ形式の積和（作用和）で定義する。 ライプニッツルール ただし によって新たな乗法を定める。 すなわち， は新たな微分作用素を定める。 ただし，最右辺に示すように，D が A に作用しないように計算すれば同じ結果を得る。 は成分計算でよく使う。 ※Dが線形作用素であることは明らか 公式 上式において，（ が列ベクトルの場合） は列ベクトルでなくては行列の積が定義できないので，自然に列ベクトルであると分かる。 ※逆に が行ベクトルの場合には，列ベクトルになることも分かる。 公式 のとき， ※m次正方行列に限る ※ (m,n)行列の場合 実際， 実際，
• 空間メモ（仮）
  ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●表記法 x ∈ R^n 　⇒ x = (x_1, ...,x_n)^T 列ベクトル 座標ベクトル（Vと同型なK^nの元）は列ベクトルにしてみる。 x = (x_1 ... x_n)^T x ∈ R_n 　⇒ x = (x^1 ... x^n) 行ベクトル 基底ベクトル（Vの元そのもの）は行ベクトルにしてみる。 B = [b^1 b^2 ... b^n]　←ていうか横に並べて行列になっている。 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●表記その２ 増井さんは， 列ベクトル＝上付き添字＝反変ベクトル 行ベクトル＝下付き添字＝共変ベクトル として表記していた。 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●線形空間 V set, K field V上の演算u+vと，係数倍kvが...
• 群論
  基本事項 Def. 群(group) 群(G,*)は単位逆結合 G0. G1. G2. G3. さらに，可換律を満たすとき，Abel群または可換群という。 G4. 可換群に対しては 演算+ 単位元0 逆元-a で表し，このとき加法群ともいう。 #Gを群の位数(order)という。 Th. 単位元，逆元はユニーク Th. 部分群となるための条件 G：group, φ≠H⊂G：subset HがGの部分群となるための十分条件は，以下を満たすことである。 Def. 変換群 ある集合に作用する群のこと。 対称群は集合{1,2,...,n}の変換群であり， 一般線形群はRnの線形変換群である。 Def. 群の作用 G：group, X：set 群Gは集合Xに左から作用するあるいはXは左G集合であるとは， 次の写像が与えられ...
• 一次変換
  一次変換 線形写像 のこと。 あるいは と思っても良い。 表現行列 Vに適当な基底を入れると，φに付随する表現行列Aを得る。 表現行列は，Jacobi行列と見ることもできる。 ただし，Jacobi行列が定数になる写像はAffine変換である。 ベクトル図 （線形に限らない）高次元空間への写像の表現方法として，空間の各点に対応する矢印をプロットしていく方法がある。 これは，Vの各点XにXを原点とするφ(V)の座標を入れ，あたかもV上にベクトルがあるように表現する方法である。 流線 曲線の各点xにおける速度（つまり接線の傾き）が Ax になるような曲線 ベクトル図を各点における速度場とみなしたときの流れに相当する。 次の初期値問題の解として与えられる積分曲線である。 n=2 の研究 以下では とおく。 詳細については対角...
• 行列ノルムいろいろ
  フロベニウスノルム(ベクトルと同一視した場合のノルム) あまりおもしろくない。 フロベニウス内積から誘導されるノルムである。 作用素ノルム (誘導ノルム、線形作用素としてのノルム, induced norm) ベクトルノルムの取り方次第で無数にある。 (p=q=1) 最大絶対列和 最大特異値 (p=q=∞) 最大絶対行和 定理 劣乗法性 A, Bは積が定義できればサイズが異なってもよいが、 Aのrangeのノルムと、Bのimageのノルムは同じでなければならない。 特に2ノルムをとれば、以下の抑えこみを得る。 スペクトル半径 以下では、ノルムは作用素ノルムを表すこととする。 定義 固有値の絶対値の最大値 定理 作用素ノルムによる抑えこみ 特に、2ノルムをとれば、最大特異値との関係を得る。 補題 特異値との違い...
• 対称行列とエルミート行列
  Def. Rem. エルミート行列は正規行列である。 正規行列参照 → 1. ユニタリ行列で対角化可能 1 . 特に対称行列は直交行列で対角化可能 2. スペクトル分解可能 Th. エルミート行列の固有値は実数である。 実際，固有値λに対する固有ベクトルxとして， より従う。 Th. (Courant-Fischer s minimax theorem) エルミート（対称）行列Aの固有値を大きい順に並べる。 このとき ただし S は部分空間 Cor. 二次形式の抑えこみ この事実はミニ・マックス定理を経由しなくても次のようにして示せる。 すなわち，エルミート行列は正規行列であるから，スペクトル分解できる。 さらに， に対してとおく。 である。 Cor. 分離定理 Cor. 単調定理 ...
• いろいろな微分
  いろいろな微分 Rnの話し 全微分 要するにTaylor展開による１次近似（= 線形写像としての近似）を考えている。 fがC1級のときfは全微分可能であるといい，以下が成り立つ。 この式の極限として以下を定義する。 上の定義による全微分は，適当な座標のもとで可能になるから，無限次元空間では使えない。 定理 　全微分可能　⇒　各変数で偏微分可能 　逆は必ずしも成り立たない！ 方向微分 uを方向余弦とする。つまり，|u|2=1 fがC1級のとき，次の極限が存在して，右辺と一致する。 これをfのu方向への方向微分といい，Duf(a)とか，dfa(u)とかく。 曲線による定義 方向微分は，以下のように曲線を用いて定義することもできる。 即ち，t でパラメトライズされた曲線 x=γ(t) を考え， これが γ(0)=a, γ (0)=u を満たすと...
• 外国語
  デルフォイ神殿の格言 Δελφοι 1. γνῶθι σεαυτόν　汝自身を知れ 2. μηδὲν ἄγαν　過剰の中の無（多くを求めるな） 3. ἐγγύα πάρα δ᾽ ἄτη　誓約と破滅は紙一重（無理な誓いはするな） ゴルバチョフ Михаил Сергеевич Горбачёв Перестройка　再構築（restructureの語源） гласность　情報公開 ルーコヴィッツァ「葱坊主」（ロシア正教の丸屋根のこと。ルーク＝玉葱） タイ ผักชี　パクチー ไม่เป็นไร mai pen rai สบาย sa baai ラオ料理 ເຂົ້າໜຽວ カオ・ニャオ（主食のもち米） ベトナム料理 Gỏi cuốn　生春巻き 韓国料理 김치　キムチ 中華料理 麻婆豆腐 mápó dòufu ドイツ語 Gödels...
• トレース
  基底 S による線形作用素 f の表現行列を A とする。 次が成り立つ 関数解析では右辺をトレースの定義とし、右辺が有限のときトレースクラスという。 可分ヒルベルト空間においてトレースクラスと核型作用素は同値。←要確認。バナッハでもおｋ？ 特に有限次元でしかも標準内積を使っているときは以下のようになる。 リーマン多様体においては， のトレースをとることが多い。 また，div にもトレースが表れる。
• 行列の微分2
  １つの成分による微分 実際，行列の積が定義できる場合には Leibniz Rule を満たす。 全成分による微分はなかなか難しい と表しておいて， 関数の場合 と考えて，これをに拡張する。 と表しておいて， と定義する。 上記の新しく基底を作る方法では， にならない また， はどうなるか？
• 曲面論
  曲線による定義 Def. 曲線Cに制限した微分 関数： 曲線： 始点P  = C(0) 曲線Cに制限した関数f t=0における微分係数vC(f)とおけば， vC(f) は線形作用素 ただし，関数fに対して，座標変数による偏微分係数を対応させる偏微分作用素を以下で定義する。 Def. 曲線Cの始点Pにおける接ベクトル ただし，標準基底を以下で定義する。 Def. 接ベクトル空間 vCはC (0)と同一視できる。すなわち，以下の対応付けにより， 微分作用素の集合 は一次独立であり，点Pにおける任意の接ベクトルはBの線形結合で与えられる。 Span(B)を点Pにおける接ベクトル空間といい， で表す。冒頭の対応付けによって，これはRnと同型。 Def. 余接ベクトル空間 接ベクトル空間の双対空間 すなわち，関...
• 正規行列
  Normal matrix 対称行列とエルミート行列および直交行列とユニタリ行列も参照 Def. 正規行列 が正規行列であるとは，AとA*が可換 となることをいう。 Ex. ユニタリ行列、直交行列 エルミート行列、対称行列 歪エルミート行列，歪対称行列（交代行列）など。 Th. Toeplitz 正規行列はユニタリ相似変換によって対角化可能である。 i.e. 逆に、対角行列をユニタリ相似変換したものは正規行列である。 Rem. 実は，単位固有ベクトルを並べたものがUの正体であって， という書き方は以下で述べるスペクトル分解と等価である。 従って，を以てスペクトル分解と宣う本もある。 Th. 正規行列の相異なる固有値に対する固有空間は互いに直交する。 さらに，相異なる固有値に対する固有空間の全体は，元の空間の直和分解を与える。...
• 同型と射影
  同型～同相 準同型～射影～一の分割 ←問題を局所化するのに使う。 線形空間 線形空間の同型 Def. U,V  Vector Sp. U,Vが同型とは，U,Vの間に全単射線形写像が存在することをいう。 φ U→V  Linear 1-to-1 onto Map. このとき，φを線形同型という。 Th. n次元ベクトル空間の正体 体K上のn次元ベクトル空間Vはn次元数ベクトル空間Knと同型 [証明]は，Vに必ず基底がとれることを利用して， 基底に対する成分の組(x,y,z,...)をKnの数ベクトルと同一視する写像が線形同型になることを示す。 Th. 正則⇔全射⇔単射⇔核が自明 線形変換 φ Kn→Kn の性質 これらの性質のうちのいずれか１つ（従って全て）が成り立てば，φは線形同型である。 内積空間の同型 線形同...
• 行列の変換
  変換の分類 相似変換 正則行列Pによって， と変換すること。 相似変換によって固有値は変化しない。 相似であることは、Jordan標準形が同じと考えてもよい。 同値変換 2つのユニタリ行列U,Vによって、 と変換すること。 同値変換によって固有値は？？？ 同値変換によって特異値は変化しない。 合同変換 正則行列Pによって， と変換すること。 合同変換によって固有値は変化するが，エルミートor実対称行列の固有値の符号を変えない(Sylvesterの慣性法則)。 Pとして直交行列をとれるときは，相似変換になる。 直交変換, ユニタリ変換 直交(ユニタリ)行列Uによって、 と変換すること。 直交(ユニタリ)行列は正則行列なので、直交(ユニタリ)変換は相似変換の一種である。 直交(ユニタリ)変換は数値誤差を拡大縮小しないために数値的に...
• R小技
  R-Tips Tinn-R ベクトルの生成・操作 規則的なベクトルの生成法いくつか 1 4 1 2 3 4 diag( c(1,2,3) ) 対角行列 diag(1,2,3) seq(0, 10, by = 0.5) 0 から 10 まで 0.5 刻み 0ベクトルによる初期化 x - numeric( N ) A - matrix( numeric( N*M ), N, M) ケツの10個を取り出す x[(length(x)-10) length(x)] NAがあるかどうか is.na(x) NAでない値だけ取り出す x[!is.na(x)] １つでもNAがあったらFALSE any(is.na(x)) 全部TRUEに限ってTRUE all(is.na(x)) ２進ベクトル網羅 ...
• 本
  代数学 栗原章「代数学」朝倉書店 青い本。薄くてカバー範囲が広い。おすすめ。Fourier変換について触れてる。 解析学 新井仁之「フーリエ解析と関数解析学」培風館 薄くて詳しい「数学レクチャーノート」シリーズ。スペクトル分解から wavelet や sampling定理までカバーしてる。 山田功「工学のための関数解析」数理工学社 網羅的で見やすい。 学習理論 中野良平「ニューラル情報処理の基礎数理」数理工学社 線形パーセプトロンからリカレントとかSOMまで。数値計算やEMアルゴリズムもカバー。 よくまとまった一冊。 最適化 矢部博「工学基礎最適化とその応用」数理工学社 擬似言語でアルゴリズムが書いてある。素敵。
• 可換な行列
  1. べきは可換 1 . 行列多項式は可換 2. 対角行列は可換 2 . 同時対角可能な行列は可換 i.e. 同じ正則行列で対角化可能な行列どうしは可換 3. 同時標準化可能なら可換？
• 回路理論
  ３つの解放 枝電流法 ループ電流法 節点方程式 有用な方法 電源の外し方 電圧源：短絡 = 抵抗０ 電流源：開放 = 抵抗∞ 重ね合わせの理 テブナンの定理 1. 開放電圧 V0 を求める。（全電流・全電圧の定理が使える） 2. 電源をはずして，内部抵抗 R0 を求める。 3. 回路は 内部抵抗R0 を持つ 定電圧源V0 とみなせる。 双対. ノートンの定理 系. 電源の相互変換 電圧源E の 内部抵抗r とする。 これをブラックボックスとすると， 内部抵抗r の 電流源 J  = E/r と区別できない。 ミルマンの定理（全電圧の定理） 電圧源Eiの内部コンダクタンスGiとする。 これらの電圧源が並列接続されているとき，トータルの開放電圧Vは， 双対. 全電流の定理 電流源Jiの内部抵抗Riとする。 これらの電...
• メモリ管理
  メモリの取得と解放 stdlib.h malloc, free 動的取得と解放の基本形 allocate and free #include stdio.h ・・・ char *mem; mem = (char*) malloc( sizeof(char) * 100 ); // char 100個ぶん if( mem == NULL ){ /* メモリ取得失敗 */ } ・・・ free(mem); 構造体の動的取得と解放 #include stdio.h ・・・ struct STR *obj; obj = (struct STR*)malloc( sizeof(struct STR)); // STR 100個ぶん if( obj == NULL ){ /* メモリ取得失敗 */ } ・・・ free(ob...
• Mathematica
  代入 expr[x,y,z] /. x - value この命令は，ReplaceAll を呼び出している。 5x + 2 /. x- 2 12 （この代入は一時的である。） x x 複数個代入するにはリストを使う。 3x + 2y - 1 /. { x- 2, y- a-1 } 5 + 2(a-1) パターンを認識して置換 1+x^2+x^4 /. x^2- 5←x^4についてはそのまま残る 1+x^2+x^4 /. x^p_- f[p]→1+f[2]+f[4]　←パターンにはアンダースコアをつける 1+f[x]+f[y] /. f[x]- x^2→1+x^2+f[y] 1+f[x]+f[y] /. f[x_]- x^2→1+x^2+y^2 xのべきで整理する Collect[expr, x]その１ ...
• 射影
  1. 直積に対する射影（標準的射影） 2. 商集合に対する射影（自然な射影） 3. 線形空間における射影（冪等作用素） 4. ファイバー空間（直積の拡張）における射影 などが考えられる。 冪等については，片側逆写像との関係が深い。 直積に対する射影 いずれも canonical projection または natural projection という。 圏論的な文脈では，忘却写像ともいう。 順序対，デカルト積と射影 ２つの集合の直積を特にデカルト積 Cartesian product という。 X, Y  set p_X, p_Y を直積集合X×YからX,Yへの射影という。 選択関数，直積と射影 添字集合 N で添字付けられた集合系 （i.e. 写像Xを集合系という。） を，選択関数という。 選択関数の全体を直積と...
• 対称行列の要点
  1. 対称行列の空間はアーベル群 Rem. 積に関しては閉じていない！ 2. 実対称行列の固有値は実数 2 . Hermite行列の固有値も実数 3. 実対称行列は直交行列で対角化可能 3 . Hermite行列はUnitary行列で対角化可能 ※正則行列による二次形式の対角化を，二次形式の標準化という。 ※特に，直交行列による二次形式の標準化(対角化)を，二次形式の主軸変換という。 4. Sylvesterの慣性法則 二次形式の符号数(p,q)は，標準化で不変
• 線形回帰
  座標系に依らない計算を示す。 近似対象 一次独立とは限らない弱基底系 の内積 が誘導するノルム を最小化する。 従ってこれをで微分したものを0とおくと， 即ち， ただし， と特異値分解して， によって一般化逆行列を計算する。
• テンソル計算
  ここでは古典的なテンソル解析を扱う。「古典」とは変数変換が直交変換（回転）に限ることを指している。 微分形式はテンソル解析の一分野とみなすこともできるが，微分形式では変数変換によって変数の数が変わっても良いので，より一般化された理論になっている。 このページはとても参考になる。 準備 基底ベクトルはVの元であるのに対し，成分を並べたベクトルはK^nの元であることに注意！ 成分を並べた列ベクトルを，xの基底Uによる表示とか，xのU-座標とか言い， と書く。 は同型である。 添え字に関して（反変・共変の定義と，行・列の任意性） 慣例によって，Vの座標は上付き添え字，Vの基底は下付き添え字で書く。 これは多様体論において，ベクトル場の基底ベクトルがで中心線より下， 微分形式の基底ベクトル（双対基底）がで中心線より上に添字がくるのと一致させるため...
• 集合と写像
  曲線・曲面 曲線 単射でなくてもよい。 特に，全ての t で が成り立つときは正則曲線という。 区分的C1級なら弧長が定まり，以下で与えられる。 曲面 座標変換 曲線の変数変換 曲線 変数変換 bijective conti. Rem. 区間IからJへの全単射連続写像は狭義単調関数 Prop. 変数変換の合成は再び変数変換 変数変換で移りあう曲線どうしは，同値関係である。 向きを保つとき同値，向きを問わないとき弱同値という。 同相写像 微分同相 埋め込み （多様体の）はめ込み （多様体の）埋め込み （関数空間の）連続埋め込み (Sobolevの埋め込み定理) XがYに連続埋め込みできるとは， 有界線形な単射が存在することをいう。 特に，埋め込みがコンパクトとは， 任意のXの有界列{xn}に対して...
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