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nopu@wiki内検索 / 「Frobenius内積」で検索した結果

• Frobenius内積
  Def. Frobenius内積 対称行列の空間に対して定義される。 Def. Frobeniusノルム Prop. 内積の公理 1. 線形性 2. 対称性 3. 正値性 Def. Trの性質 1. 積の交換律 2. 積の結合律 特に， 二次形式 平方完成　その１（多変量正規分布の指数） 平方完成　その２（二次曲面の定義式） 内積の微分 クロネッカーのデルタ Iijとの相性 ← IijはFrobenius内積における正規直交基底である！ Iijは次の関係式が有用である。
• 行列の成分計算
  ...とる。（行列A,BのFrobenius内積） 各成分の二乗和 二次形式 （Frobenius内積の特殊形。特に，Aを固定すると数ベクトルの内積の拡張ともみなせる。） クロネッカーのデルタ 右から作用させて，第i列ベクトルを第j列に持ってくる。 Trと使うと効果絶大。 もう少しエレガントな証明 一方，
• 目次
  ...置換, 基本変形 Frobenius内積 行列の微分 行列の微分2 行列の微分3 行列の極限と指数対数 行列の極限，べき乗の計算の仕方，指数関数，対数関数 正則行列 正則行列の作り方 三角行列 Schur分解（正方行列の三角化）, 三角行列の固有値，積 対角行列 対角行列のスペクトル分解 優対角行列 正規行列 Toeplitzの定理，スペクトル分解 直交行列とユニタリ行列 直交行列の作り方，射影行列の作り方 対称行列とエルミート行列 固有値は実数，Courant-Fischerのミニ・マックス定理，二次形式，正定行列，コレスキー分解，Sylvester s law of inertia、内積との関係 対称行列の要点 冪零行列 書きかけ べき零行列の構成法 射影行列 線形空間における射影，射影行列の構成法 計画行列 線形回帰，計画行列，正規方程式 ...
• 内積の公理
  m-dim vector space bilinear map is a positive definite inner product when (i) (ii) 内積が入ると， 1. 直交が定義できる。 2. 角度が定義できる。 3. ノルムを誘導できる。 4. 体積を誘導できる。 i.e. 線形性の制約から，基底どうしの内積を定めることで，内積自体が決まってしまう。 Th. Riesz representation theorem inner space for all there exists such that for all
• Cybenko
  記号 denotes the n-dimensional unit cube the space of continuous functions on In the supremum norm of an f∈C(In) Th. 1 Let σ be any continuous discriminatory function. Then finite sums of the form are dense in C(In). In other words, given any f∈C(In) and ε 0, there is a sum, G(x), of the above form, for which Th. 2 Let σ be any continuous sigmoidal function. Then finite sums of the...
• 数学の歴史
  Real mathematics must be justified as art if it can be justified at all. --- G.H.Hardy A Mathematician s Apology 1940 Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. The natural numbers are the work of God. All of the rest is the work of mankind. --- L.Kronecker No one shall expell us from the paradise that Cantor has created for us. --- D.Hilbert ...
• Wordster advanced
  To bring the economy out of this downturn, the government should relax monetary policies. Trying to restrict inflation is the least of our worries right now. After several quarters of dismal sales, dismay was prevalent throughout the tourism industry, but now it seems we are on the verge of a revival. dismay prevalent on the verge of ~ There was heavy trading on the stock market today a...
• Sobolevの埋め込み定理
  弱解（内積で表現された弱方程式の解）の正則性を示すのに使う。 つまり，微分可能性とか連続性とか。 C∞ぐらい分かったら嬉しい。 内積の同値性を示すことも，状況（方程式の形）に応じて使い分けることができて嬉しい。 Lem. Hölderの系 Ω⊂Rd, 1≦p≦q≦∞ このときで，以下が成り立つ Th. Sobolevの埋め込み定理 Ω⊂Rd：Bounded Open subset 1≦p ∞ に対し，として，以下が成り立つ。 p dのとき p dのとき Cor. Poincareの不等式 ノルムの同値性を表している。 Ω⊂Rd：Bounded Open subset (p=2)に対し， Th. Relich-Kondrachovのコンパクト性定理 Ω⊂Rd：Bounded Open subset p,d; 1≦q が以下...
• PRML62.tex
  \documentclass[11pt,a4paper,fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb,amscd} \usepackage{bm} \usepackage{graphicx} \usepackage{ascmac} \usepackage{cases} \setlength{\textwidth}{\fullwidth} \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \addtolength{\textheight}{\topskip} \setlength{\voffset}{-0.2in} \setlength{\topmargin}{0pt} \setlength{\headheight}{0pt} \setlength{\headsep}{0pt} %%%%%%%%%%%%%%%...
• dyadic product （外積, outer product）の性質
  特異値分解と一般化逆行列も参照 あるデータ列に対する分散共分散行列なんかは，dyadic productで与えられる。 ただし， は適当な特徴空間への写像。 Definition Def. as Tensor Product 基底を１つとって固定する。 の成分表示を， とおく。 このとき，x と y の Dyadic Product とは，以下で定義されるテンソル積である。 Dyadic Product の成分表示 Dyadic はまた，次のように行列として成分表示することができる。 即ち，ij成分は基底のテンソル積の係数を表している。 x y^T の形の積を，Outer Product などと呼ぶこともある。 Dyadic Product の性質 成分表示から分かるように，各行ベクトルは互いに平行である。 列ベクトルもまた...
• R拡張
  R extension Error in dyn.load( bin/r_ifa.so )  unable to load shared library /home/lab/nopu/work/ifa/bin/r_ifa.so dlopen(/home/lab/nopu/work/ifa/bin/r_ifa.so, 6) Symbol not found __ZN10SaveWeight6suffixE Referenced from /home/lab/nopu/work/ifa/obj/R/init.o Expected in flat namespace in /home/lab/nopu/work/ifa/obj/R/init.o Makefile 上で save.o をリンクし忘れていた。 Rcpp Rcpp x inline ...
• terminology
  言い回し It turns out that ~ ～ということが分かった。 If this is the case, ~ この場合には， This is not the case for ~ ただし～を除く。 At the moment, there is no such thing as a real number. 現時点において，実数などというものはない。 Note that ~ ～であることに注意せよ。 ～に留意すると， The phrase x is a limit point of A has the advantage of reminding us that x is literally the limit of a sequence in A. ～は，（xがある数列の極限であるということを思い出させてくれる）という強みがある。 ...
• NN.r 090619
  # calculate FeedForward Network # Online version ########### # usage # source("NNn.r") # init(nin, nhidden, nout, fact, fout) - some global variables are defined here # bprop(x, y, eta) - learn by backpropagation # fprop(x) - calculate feedforward propagation # automatic usage # source("NNn.r") # x - ... ( N*D dim. input matrix ) # t - ... ( N*K dim. out...
• NN.r 090624
  # calculate FeedForward Network # Online version ########### # usage # source("NNn.r") # init(nin, nhidden, nout, fact, fout) - some global variables are defined here # bprop(x, y, eta) - learn by backpropagation # fprop(x) - calculate feedforward propagation # automatic usage # source("NNn.r") # x - ... ( N*D dim. input matrix ) # t - ... ( N*K dim. output...
• NN.r 完成版
  # calculate FeedForward Network # Online version ########### # usage # source("NNn.r") # init(nin, nhidden, nout, fact, fout) - some global variables are defined here # bprop(x, y, eta) - learn by backpropagation # fprop(x) - calculate feedforward propagation # automatic usage # source("NNn.r") # x - ... ( N*D dim. input matrix ) # t - ... ( N*K dim. out...
• NN.r 090624_2
  # calculate FeedForward Network # Online version ########### # usage # source("NNn.r") # init(nin, nhidden, nout, fact, fout) - some global variables are defined here # bprop(x, y, eta) - learn by backpropagation # fprop(x) - calculate feedforward propagation # automatic usage # source("NNn.r") # x - ... ( N*D dim. input matrix ) # t - ... ( N*K ...
• tex
  texのコマンドとか レポートのテンプレート 数学レポのテンプレ 物理のかぎしっぽ TexWiki よく使う演算記号 岐阜大学 Beamerでスライド eps画像の挿入 ファイルの置き場所とか texclip phpでtex画像生成 コンパイル platex ***.tex (p)xdvi ***.dvi xdvipdfmx ***.dvi YaTeX + emacs の場合 C-c t j C-c t p スタイルファイルを追加 追加する hoge.sty は 1. *.tex と同じところに置いておくか， 2. /usr/local/teTex/share/texmf/ptex/platex/base に入れる。 mktexlsr hoge.sty インストール 日本語化はいろいろ煩わしいので，te...
• 空間メモ（仮）
  ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●表記法 x ∈ R^n 　⇒ x = (x_1, ...,x_n)^T 列ベクトル 座標ベクトル（Vと同型なK^nの元）は列ベクトルにしてみる。 x = (x_1 ... x_n)^T x ∈ R_n 　⇒ x = (x^1 ... x^n) 行ベクトル 基底ベクトル（Vの元そのもの）は行ベクトルにしてみる。 B = [b^1 b^2 ... b^n]　←ていうか横に並べて行列になっている。 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●表記その２ 増井さんは， 列ベクトル＝上付き添字＝反変ベクトル 行ベクトル＝下付き添字＝共変ベクトル として表記していた。 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●線形空間 V set, K field V上の演算u+vと，係数倍kvが...
• STL
  vectorとかmapへのアクセサが作りたくなったら データの格納形式は様々なので，たとえ全ての実装クラスが持っているように思えても， インタフェースクラスには書かないようにするのが吉。 実装の段で，各実装クラス毎に public で書けばよろし。 順序コンテナ vector と deque の違い push_front( val ) できるのが deque vector, deque と list の違い listだけランダムアクセスができない。 vec[3] = 20; deq[2] = 10; list[4] = 5; ←こいつだけだめ！ list は連結リストなので，メモリが整列していない。 一方，配列の間に要素を追加削除するのは高速 vector 降順には専用の逆方向イテレーターを使う！！！ vector int re...
• NN.r
  # calculate FeedForward Network # usage # source("NN.r") # init(nin, nhidden, nout) - some global variables are defined here # fprop(x, sigmoid, identity) - calculate feedforward propagation # names below are reserved # (---variables---) # dim.in, dim.hidden, dim.out, D, M, K, w1, w2 # (---functions---) # init, fprop, bprop, sigmoid, identity D - numeric(0) M - numeric(0) K ...
• Makefile
  FrontPage Makefileによるコンパイル・リンク 書式 (生成するファイル名)  (生成時に依存するファイル名) TAB (ファイルを生成するためのコマンド) Makefile target.out  main.o hoge.o TAB gcc -o target main.o hoge.o -lgsl -lgslcblas -lm main.o  main.c hoge.h TAB gcc -c main.c main.o  hoge.c hoge.h TAB gcc -c hoge.c 変数を使うと楽 コンパイルオプションの変更とか。 CC = gcc OPT = -lm -lgsl -lgslcblas INC = -I/usr/local/includ...
• Fourier級数からLaplace変換
  直交関数系 Th. 周期関数空間の正規直交基底 where, Sは内積空間(F,(・,・))の正規直交系基底 i.e. 注：通常は，1/√2を含めてしまって， とする。 Def. 用語 直流成分，バイアス： 基本波：　←こいつで音階が決まる。 高調波： Cor. 複素Fourier級数 Rem. 上の系は，Fに次の複素内積を入れたときの正規直交基底が，指数関数系S であることを示している。 Th. 反転公式（と，その極限） Fourier変換 Def. Fourier transform, Fourier inverse transform Prop. where, Laplace変換 F変換は，変換が収束する関数が少ない！ ...
• 曲面論
  曲線による定義 Def. 曲線Cに制限した微分 関数： 曲線： 始点P  = C(0) 曲線Cに制限した関数f t=0における微分係数vC(f)とおけば， vC(f) は線形作用素 ただし，関数fに対して，座標変数による偏微分係数を対応させる偏微分作用素を以下で定義する。 Def. 曲線Cの始点Pにおける接ベクトル ただし，標準基底を以下で定義する。 Def. 接ベクトル空間 vCはC (0)と同一視できる。すなわち，以下の対応付けにより， 微分作用素の集合 は一次独立であり，点Pにおける任意の接ベクトルはBの線形結合で与えられる。 Span(B)を点Pにおける接ベクトル空間といい， で表す。冒頭の対応付けによって，これはRnと同型。 Def. 余接ベクトル空間 接ベクトル空間の双対空間 すなわち，関...
• 形式
  数空間への写像を関数(function)という。 ベクトル空間Vから係数体Kへの写像 を形式(form)という。 特にVとして関数空間をとっている場合は，汎関数(functional)ともいう。 以下では， field m-dim vector space on K とする。 一次形式，線形形式 linear form 一次形式の全体はふたたびベクトル空間になり，これを双対空間(dual space)という。 双一次形式 bilinear form 内積の一般化 後述する(0,2)-tensorである。 内積の公理参照 正定値(⇒対称)かつ非退化な双一次形式が狭義の正定値内積である。 有限次元では必ず、適当な行列Aをとって次のように表現できる。 2-form 歪対称(skew-symmetric)双一次形式 多重線形形式 ...
• 空間の相関図
  代数構造，位相構造，順序構造 とか。 数 自然数 特徴づけ ペアノの公理とか？ 他との関係 加法に関して群にする　→　整数 整数 特徴づけ 有理整数環 一意分解整域(UFD) 単項イデアル整域(PID) 他との関係 乗法に関して群にする　→　有理数 有理数 特徴づけ 有理数体 他との関係 完備化　→　実数　（実は公理） 代数的閉包　→　複素数 実数体 特徴づけ 完備性 Rnの系列の中で見れば，唯一 n=1 の場合だけが順序体 複素数体 特徴づけ 代数的閉体 複素関数では，正則関数と解析関数が一致する。 組み合わせ 有限次元ユークリッド空間 特徴づけ ユークリッド距離による位相を入れる。 ノルム空間 　有限次元空間の任意の２つのノルムは互いに同値　←つまり，ノルムは本質的に１つしか入ら...
• TechnicalEnglish
  See 科学英語を考える 東大理学部 アルク英文法 理化学英語の冠詞の用法 単複で迷いやすい場面 ウンチク 英語らしい英語を書くコツ 古い情報が先，新しい情報が後　→　文末焦点 ≒ theが前，a/anが後 We took a sample. The sample was stirred with a pipette. △ We took a sample. A pipette was used to stir the sample. 長い主語と短い述語は嫌われる。　→　文末焦点 × The ....................... is important. パラレリズム 形態は揃える。　→　名詞を並べているところに動名詞を挟まない。 動詞は名詞化しない ← ◯◯する，なる，ある を直訳すると漏れなく名詞化しがち。 make prep...
• 対角化と固有値問題
  一次独立と直交の関係 内積があれば一次独立系から正規直交系を作り出すことができる。 一方，直交系は一次独立系である。 一次独立にならない（縮退）系でも，適当な摂動を入れて一次独立とみなすことができるが， それを正規直交系にしても，限りなく０度に近い角度を９０度に広げるようなもので， 歪みが大きく表れてしまうことには留意すべき。 半単純 Def. 半単純 線形写像 A V→V（すなわち正方行列A）が半単純とは， Aの固有ベクトルがVの基底をなすこと。 Def. 対角化可能 正方行列Aがある対角行列Dと相似になること。 すなわち正則行列Bがあって， とできること。 Th. 半単純⇔対角化可能 [半単純⇒対角化可能] Aの固有値と対応する固有ベクトルをそれぞれ以下のように並べたものをとる。 このとき， が成り立つ。 固有ベクトルは線形独立なの...
• NN.r 2
  # calculate FeedForward Network # usage # source("NN.r") # init(nin, nhidden, nout, fact, fout) - some global variables are defined here # fprop(x) - calculate feedforward propagation # names below are reserved # (---variables---) # dim.in, dim.hidden, dim.out, D, M, K, w1, w2, f.act, f.act.d, f.out # (---functions---) # init, fprop, bprop, sigmoid, identity # functions sigmoi...
• テンソル計算
  ここでは古典的なテンソル解析を扱う。「古典」とは変数変換が直交変換（回転）に限ることを指している。 微分形式はテンソル解析の一分野とみなすこともできるが，微分形式では変数変換によって変数の数が変わっても良いので，より一般化された理論になっている。 このページはとても参考になる。 準備 基底ベクトルはVの元であるのに対し，成分を並べたベクトルはK^nの元であることに注意！ 成分を並べた列ベクトルを，xの基底Uによる表示とか，xのU-座標とか言い， と書く。 は同型である。 添え字に関して（反変・共変の定義と，行・列の任意性） 慣例によって，Vの座標は上付き添え字，Vの基底は下付き添え字で書く。 これは多様体論において，ベクトル場の基底ベクトルがで中心線より下， 微分形式の基底ベクトル（双対基底）がで中心線より上に添字がくるのと一致させるため...
• 対称行列とエルミート行列
  Def. Rem. エルミート行列は正規行列である。 正規行列参照 → 1. ユニタリ行列で対角化可能 1 . 特に対称行列は直交行列で対角化可能 2. スペクトル分解可能 Th. エルミート行列の固有値は実数である。 実際，固有値λに対する固有ベクトルxとして， より従う。 Th. (Courant-Fischer s minimax theorem) エルミート（対称）行列Aの固有値を大きい順に並べる。 このとき ただし S は部分空間 Cor. 二次形式の抑えこみ この事実はミニ・マックス定理を経由しなくても次のようにして示せる。 すなわち，エルミート行列は正規行列であるから，スペクトル分解できる。 さらに， に対してとおく。 である。 Cor. 分離定理 Cor. 単調定理 ...
• R小技
  R-Tips Tinn-R ベクトルの生成・操作 規則的なベクトルの生成法いくつか 1 4 1 2 3 4 diag( c(1,2,3) ) 対角行列 diag(1,2,3) seq(0, 10, by = 0.5) 0 から 10 まで 0.5 刻み 0ベクトルによる初期化 x - numeric( N ) A - matrix( numeric( N*M ), N, M) ケツの10個を取り出す x[(length(x)-10) length(x)] NAがあるかどうか is.na(x) NAでない値だけ取り出す x[!is.na(x)] １つでもNAがあったらFALSE any(is.na(x)) 全部TRUEに限ってTRUE all(is.na(x)) ２進ベクトル網羅 ...
• 線形代数の行列表現
  お膳立て 行列の代数構造は線形空間の理論とは別に定義されていることに注意する。 K  体 X  K上の線形空間 Xの基底 即ち， 以下では，基底ベクトルを並べた行列Bもまた，「基底」と呼ぶ。 任意のに対して，xの基底Bによる表示あるいはxのB座標 と呼ばれるベクトルが唯一つ存在して， 基底ベクトルはXの元であるのに対し，成分を並べたベクトルはK^Nの元であることに注意！ Xの元xに対して，xのB-座標を対応させる線形写像 は，同型写像である。 これによって XをK^Nと同一視する。 従って特に，Xの内積としてK^Nの標準内積が入る。 例 特に， 注意 この同一視は，「基底の取り替え」ではない。 K^N の標準基底をと書くことにすると， これはXの一つの基底と同一視することができるが，一般の基底Bに対し...
• 同型と射影
  同型～同相 準同型～射影～一の分割 ←問題を局所化するのに使う。 線形空間 線形空間の同型 Def. U,V  Vector Sp. U,Vが同型とは，U,Vの間に全単射線形写像が存在することをいう。 φ U→V  Linear 1-to-1 onto Map. このとき，φを線形同型という。 Th. n次元ベクトル空間の正体 体K上のn次元ベクトル空間Vはn次元数ベクトル空間Knと同型 [証明]は，Vに必ず基底がとれることを利用して， 基底に対する成分の組(x,y,z,...)をKnの数ベクトルと同一視する写像が線形同型になることを示す。 Th. 正則⇔全射⇔単射⇔核が自明 線形変換 φ Kn→Kn の性質 これらの性質のうちのいずれか１つ（従って全て）が成り立てば，φは線形同型である。 内積空間の同型 線形同...
• NN.r 3
  # calculate FeedForward Network # Online version # usage # source("NNonline.r") # init(nin, nhidden, nout, fact, fout) - some global variables are defined here # bprop(x, y) - learn by backpropagation # fprop(x) - calculate feedforward propagation # names below are reserved # (---variables---) # dim.in, dim.hidden, dim.out, D, M, K, w1, w2, f.act, f.act.d, f.out # (-...
• 関数列の一様収束
  一様収束を示す Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence コーシー列の関数列版 A sequence of functions (fn) defined on a set A⊂R converges uniformly on A if and only if for every ε 0 there exists an N∈N such that |fn-fm| ε for all m,n N and all x∈A. Th. Arzela-Ascoli Arzela-Ascoliについては関数解析の諸定理も参照 Let I be a bounded closed interval. For each n∈N, let fn be a function defined on I. If (fn) is bounded on...
• NN.r 4（とりあえず完成版）
  # calculate FeedForward Network # Online version # usage # source("NNonline.r") # init(nin, nhidden, nout, fact, fout) - some global variables are defined here # bprop(x, y) - learn by backpropagation # fprop(x) - calculate feedforward propagation # # for debug # c - test(hidden=10, times=2000, eta=0.01) # (plot of declining errors will be drawn) # n - 1 length(c$...
• sd.cpp sd.hpp
  #ifndef __SD_H__ #define __SD_H__ #include "env.hpp" #define ARMIJO_MU 0.01 #define ARMIJO_MAX 30 #define MOMENTUM_ALPHA 0.9 #define REGULAR_LAMBDA 1.0 class Sd public Env{ public   Sd(       std string _data,       unsigned _hid,       std string _projName = "testSd", &...
• 計画行列
  最小二乗問題 回帰モデル 定式化 minimize 計画行列( design matrix ) 正規方程式( normal equation ) 計画行列の見方1 基底関数は入力を特徴空間へ写像していると考えると， として，問題は 空間の入力をとる線形回帰モデル による線形回帰に帰着する。 このとき計画行列は単に となる。 つまり，入力データを行順に詰めた行列である。 計画行列の見方2 関数を並べたものだと思うと，以下はグラム行列とみなせる。 計画行列の見方3 添字付けられた関数の「集合」とみなす。 「データ」を実数全体からとると，一本一本は完全に関数を記述することになる。 添字集合にも実数全体をとると，関数族は新たに一つの関数とみなすのが自然である。 逆に...
• 閉，コンパクト，完備
  点列による閉集合や連続の取り扱いは距離空間・ノルム空間で頻出 収束部分列　→　コンパクト 収束列　→　閉 Cauchy列　→　完備 完備は距離空間上の概念 Rnにおいて Rnの距離 通常はユークリッドノルムから誘導された距離 d =d2 を考える。 これは、標準内積から誘導されたノルムである。 　標準内積　→　ユークリッドノルム　→　ユークリッド距離関数 ユークリッドノルムは、以下のlpノルムにおいて、p=2の場合に相当する。 lpから定まる距離関数をdpとかく。 　Rnにおいては、どの距離関数による収束も同値である。 定理（Heine-Borel, or Borel-Lebesgueの被覆定理） Rnにおいて以下は同値 1. Aが有界閉集合（⇒最大値・最小値を持つ） 2. Aは点列コンパクト（Aの任意の点列は収束部分列を持つ） 3. A...
• 行列
  次も参照 Matrix Reference Manual The Matrix Cookbook 行列の見方 0. 環Rの元を矩形状に並べたものを行列という。 同じサイズの行列Mat(m,n)は，和に関してアーベル群である。 また同じサイズの正方行列の全体M(n)は，さらに「行列の積」を入れて非可換環(結合的多元環，代数)になる。 この積はCayleyが初めて使ったとされる。 M(n)は零因子を持ちうる。従って整域でない。 特に，M(n)の部分集合で，逆元を持つ元だけを集めた体GL(n)を正則行列という。 正則行列の重要な部分体として，直交行列（ユニタリ行列）や対称行列（エルミート行列）がある。 前者は内積を変えない線形写像であり，行列式の絶対値が1という特徴付けをもつ。正規直交基底を並べた行列と見ることもできる。 後者は二次形式の議論において重要であり，必...
• 確率測度を入れる
  an arbitrary probability measure μ(dx) on X 全測度 1 である。 要するに、空間Xの重み付けを考えている。 Ex. 有限集合の場合
• 有用な不等式
  関数の不等式を見たら　→　sup/inf を付けてみよう↑ ← 作用素ノルム示すときとか。 初等不等式 相加相乗平均 Sinc関数 [証明]は，図を描くとほぼ明らか。 と を比べる。 Cor. 以下の形でも覚えておくとよい。 これを用いて，難しいところにある sin を x で置き換えてしまうことができる。 三角関数を抑えこむ 平均値の定理 （適当な微分可能性のもとで） C∞級とかなら何回も適用してみても良いことあるかも。 Jordanの不等式 Dirichletの振動積分を評価するときに使う。 [証明]は，sinの符号が変わる90度前後で場合わけして，Sinc関数の不等式に持ち込む。 90~180度は ω=π-θ とおくと0~90度の式に変わる。 複素数列とかで使う。 複素積分の基本不等式 ...
• 実数の位相
  Def. Open Sets A set O⊂R is open if for all points a∈O there exists an ε-neighborhood V(a;ε)⊂O Def. Limit point A point x is a limit point of a set A if every ε-neighborhood V(x;ε) of x intersects the set A in some point other than x. They are also often referred to as cluster points or accumulation points Rem. A limit point of A may not belong to A As an example, consider the endpoint of ...
• 線形回帰
  座標系に依らない計算を示す。 近似対象 一次独立とは限らない弱基底系 の内積 が誘導するノルム を最小化する。 従ってこれをで微分したものを0とおくと， 即ち， ただし， と特異値分解して， によって一般化逆行列を計算する。
• フレンドクラス
  フレンド 複数のクラスの中身をのぞくことができる。 クラス宣言内で（アクセス指定子はどこでもいい）friend修飾を付ける。 フレンド関数 class Hoge { ... friend void func( Hoge obj ); ... } フレンドクラス class Friend; // 前方宣言が必要 class Hoge { ... friend class Friend; ... private int himitsu; }; class Friend { public int func(Hoge obj) }; int main() { ... Hoge hoge; Friend friend; friend.func( hoge ); ... } 内部ク...
• bash
  ジャンル別UNIXコマンド一覧 システムコールなどの解説もあり。 (九大) bash,awk,sed スキルアップ輪講 Linux便利帳 sh は bash csh は違う系列 ３つのクオーテーション $var   無くても変わらない。スペースを含むときに１つの文字列として認識させるのに使う。 $var   メタキャラクタとか変数指定子$の働きを殺す。 `ls -a`  コマンドを囲んで，その出力を値に持つ。パイプでは対応できない複雑な引数のときに活躍。 Ex. バッククオーテーションは grep などと連携して威力無限大 tar hoge.tar.gz `ls -F | egrep [^*/~]` メタキャラクタ *の役割が正規表現と違うので注意！ *  任意文字列 ?  ...
• トレース
  基底 S による線形作用素 f の表現行列を A とする。 次が成り立つ 関数解析では右辺をトレースの定義とし、右辺が有限のときトレースクラスという。 可分ヒルベルト空間においてトレースクラスと核型作用素は同値。←要確認。バナッハでもおｋ？ 特に有限次元でしかも標準内積を使っているときは以下のようになる。 リーマン多様体においては， のトレースをとることが多い。 また，div にもトレースが表れる。
• コンパイルオプション
  プリプロセッサのみ g++ -E hoge.cpp →（ダイレクトにコンソール出力） アセンブラのみ g++ -s hoge.cpp → hoge.s に出力 コンパイルのみ g++ -c hoge.cpp → バイナリ hoge.o を出力 リンク g++ (-o a.out) hoge.o hage.o → 実行形式 a.out を出力 コンパイル時に付けるもの インクルードファイルのパス -I/usr/local/include とか これがなくても、直接ソースファイルのほうにパスが指定してあればおk #include ../hoge/hage.hpp むしろ、こうしなくていいようにするための機能が -I 警告 -Wall 全ての警告を表示 最適化 -O3 ≧ -O2 -O1 -ffast-math -funro...
• 収束
  なんのための収束か？ 極限関数の連続性を保つ　→　一様収束によって，連続関数列は連続関数に収束する。 数値計算がしたい　→　一様収束ならギブス現象も起きなくて安心。 　　　　　　　　　←　逆に不連続関数のFourier級数展開は一様収束しない。 　　　　　　　　　←　Egorovなどは概収束から概一様収束への接続 Fourier級数　→　平均収束（L2収束）する。 微分方程式の級数解　→　項別微分・項別積分ができるぐらいの収束がいい。概収束と＋α（単調性とか有界性とか） 変分法の基本補題　→　０に弱収束すれば元の関数が０。 積分と極限を交換したい　→　強収束（L1収束）すれば交換可能。（積分の列というのは数列であることに注意！） 作用素の近似　→　Banach-Steinhausが強力らしい。どのノルムで誤差を評価するかも重要。 関数空間の位相　→　連続関数環は一様収...
• 病的な関数
  関数の不連続性について Def. set of discontinuity Given a function f R→R, define Df⊂R to be the set of points where the function f fails to be continuouts. Def. Fσ set A set that can be written as the countable union of closed sets is in the class Fσ Th. Given f R→R be an arbitrary function. Then, Df is an Fσ set. Cor. (with Baire s category theorem, the set of irrational points is not Fσ set....
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