ユークリッド空間 - ショートペディア | ショートペディア

ユークリッド空間（ユークリッドくうかん）とは、実数をn個並べたもの全体の集合にユークリッド距離を定めたもの。

概要

次元をn、ユークリッド空間をRのn乗としたとき、Rのn乗＝{（x₁,x₂,……,xn）│x₁,x₂,……,xn∈R}という集合に対して、（α₁,α₂,……,αn）と（b₁,b₂,……,bn）の間の距離を√（α₁-b₁）²＋（α₂-b₂）²＋……＋（αn-bn）²で定義したもの。

2次元ユークリッド空間

例として、n＝2の場合を考えてみる。

実数を2つ並べたもの（x₁,x₂）全体の集合R²を考える。

例えば、（3,2）,（-1,3,14）、（√2,-e）などは全てR²の要素である。

そして、R²の2つの要素（α₁,α₂）、（b₁,b₂）の間の距離を、√（α₁-b₁）²＋（α₂-b₂）²で定める。

つまりR²は、いわゆる普通の直交座標平面とみなすことができる。

実際、三平方の定理により（b₁,b₂）から（α₁,α₂）までの長さは、√（α₁-b₁）²＋（α₂-b₂）²になる。

3次元ユークリッド空間

次は、n＝3の場合を考えてみる。

実数を3つ並べたもの（x₁,x₂,x₃）全体の集合R³を考える。

例えば、（3,2,1）、（√2,-e,3.14）などは全てR³の要素である。

そして、R³の2つの要素（α₁,α₂,α₃）、（b₁,b₂,b₃）の間の距離を√（α₁-b₁）²＋（α₂-b₂）²＋（α₃-b₃）²で定める。

つまりR³は、高校数学で学ぶ、いわゆる普通の直交座標空間とみなすことができる。

ユークリッド空間は、いわゆる普通の直交座標平面（n=2の場合）や直交座標空間（n=3の場合）を一般化したものといえる。

非ユークリッド空間

ここまではユークリッド距離という、いわゆる普通の距離を考えてきた。

しかし「実数をn個並べたもの全体の集合」が同じでも、違う距離を考えればユークリッド空間ではない別の空間となる。

例えば座標表面の文脈で、縦と横にしか移動できない状況を考えると、（α₁,α₂）と（b₁,b₂）の間の距離は、ユークリッド距離ではなく│α₁-b₁│＋│α₂-b₂│という距離を使う方がふさわしいだろう。