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3x3のマスに○と×を交互に置いていく。その際、縦・横・斜めのいずれか1列に同じ記号が3つ並んだら終了。または9マス全てが埋まったら終了。この時、終了するまでにマスを埋める順番は何通りあり得るか。
(訳注:原文では○が後手、×が先手となっているが、日本人の一般的感覚だと逆なので日本人側に合わせる。)
9*8*7*6*5*4*3*2*1=9!=362880通り
8*3!*6*5=1440通り
8:○が並ぶ列の数
3!:↑で○を置く順番
6*5:×を置く数
8*3!*6*5*4=5760通り
8:×が並ぶ列の数
3!:↑で×を置く順番
6*5*4:○を置く数
6*3!*2*3!=432通り。
6:×が並ぶ列の数
3!:↑で×を置く順番
2:○が並ぶ列の数
3!:↑で○を置く順番
5760-432=5328通り
8*3*6*3!*5*4*3=51840通り
8:○が並ぶ列の数
3:7手目の○を置く場所
6:列に入らない○をどこに置くか
3!:1,3,5手目の○を置く順番
5*4*3:×を置く順番
6*3*6*3!*3!=3888通り
6:○が並ぶ列の数
3:7手目の○を置く場所
6:列に入らない○をどこに置くか
3!:1,3,5手目の○を置く順番
3!:×を置く順番
51840-3888=47952通り
8*3*6*3!*5*4*3*2=103680通り
8:×が並ぶ列の数
3:8手目の×を置く場所
6:列に入らない×をどこに置くか
3!:2,4,6手目の×を置く順番
5*4*3*2:×を置く順番
6*3*6*3!*2*4!=31104通り
6:×が並ぶ列の数
3:8手目の×を置く場所
6:列に入らない×をどこに置くか
3!:2,4,6手目の×を置く順番
2:列に入らない○をどこに置くか
4!:○を置く順番
103680-31104=72576通り
12672+27648+41472=81792通り
縦と横の組み合わせ…3*3=9通り
(縦または横)と斜めの組み合わせ…6*2=12通り
斜めと斜めの組み合わせ…1通り
9+12+1=22通り
22*1*4!*4!=12672通り
22:上に挙げた組み合わせの数
1:最後の○を置く場所
4!:1,3,5,7手目の○を置く順番
4!:×を置く順番
15と8という数の具体的なを挙げておく。 例えば、最後に右上に置いて、/方向に列を完成させることを考えるとき ・数える8通り ○×☆ ○×☆ ×○☆ ×○☆ ×○☆ ××☆ ××☆ ××☆ ×○○ ×○× ○○× ×○○ ×○× ○○× ○○× ×○○ ○×× ○○× ○×× ○×× ○×○ ○○× ○×○ ○○× ・数えない7通り ○○☆ ○×☆ ○×☆ ×○☆ ××☆ ××☆ ××☆ ×○× ○○× ×○× ×○× ○○○ ×○○ ×○× ○×× ○×× ○×○ ○○× ○×× ○×○ ○○○
2*3*8*4!*4!=27648通り
2:○が並ぶ列の数
3:最後の○を置く場所
8:列に並ばない2個の○を置くパターン
4!:1,3,5,7手目の○を置く順番
4!:×を置く順番
6*3*4*4!*4!=41472通り
6:○が並ぶ列の数
3:最後の○を置く場所
4:列に並ばない2個の○を置くパターン
4!:1,3,5,7手目の○を置く順番
4!:×を置く順番
16*5!*4!=46080通り
16:パターン数
5!:○を置く順番
4!:×を置く順番
8通り 4通り 4通り ←対称形の数 ○×○ ○×○ ○×○ ○×× ○×○ ××○ ×○× ×○× ○○×
5手目で決着 | 1440 |
6手目で決着 | 5328 |
7手目で決着 | 47952 |
8手目で決着 | 72576 |
9手目で決着 | 81792 |
引き分け | 46080 |
合計 | 255168 |