水素原子の古典力学的モデル

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水素原子の古典力学的モデル
- 概要
- 軌道電子の総エネルギー

概要

ラザフォードの原子模型を参考に実際に電子が原子核の周りを公転していると仮定しその時の原子の崩壊時間を算出する

軌道電子の総エネルギー

軌道電子の運動エネルギー

クーロン力の式と遠心力(向心力)の式から↓
$\begin{align}F=k\frac{q_1q_2}{r^{2}}=\frac{mv_o{}^2}{r^{1}} \\ \frac{mv_o{}^2}{r}=k\frac{q_1q_2}{r^2} \\ \frac{1}{2}mv_o{}^2=k\frac{q_1q_2}{2r} \\ v_o{}^2=\frac{kq_1q_2}{mr}\end{align}$

此に
$\begin{array}{lcl}k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o} \\ q_1,q_2=e \\ m=m_e \\ r_o=a_o=\frac{4\pi \varepsilon_o \hbar^2}{m_ee^2}=\frac{\hbar^2}{km_ee^2}\\ \end{array}$
上記の物理定数(上から真空の誘電率の逆数,電気素量,電子質量,ボーア半径)を代入する。

$\begin{align}\frac{m_ev_o{}^2}{a_o}=\frac{ke^2}{a_o^2} \\ \frac{1}{2}mv_o{}^2=\frac{ke^2}{2a_o} \\ v_o{}^2=\frac{ke^2}{m_ea_o} \\ v_o{}^2=\cfrac{ke^2}{\cfrac{m_e\hbar^2 }{km_ee^2}} \\ v_o{}^2=\frac{k^2e^4}{\hbar^2} \end{align}$
依って運動エネルギーは
$\begin{align}E_K & =\frac{1}{2}mv_o{}^2 \\ & =\frac{k^2m_ee^4}{2\hbar^2} \end{align}$
と成る。

軌道電子の位置エネルギー

位置エネルギーは電磁ポテンシャルの式から
$\begin{align}E_U=k\frac{q_1q_2}{r} \end{align}$
これを代入して
$\begin{align}E_U & =k\frac{q_1q_2}{r} \\ & =\frac{ke^2}{a_o} \\ & =\frac{k^2m_ee^4}{\hbar^2}\end{align}$

軌道電子の総エネルギー

前項の式を
$E_{electron}=E_K-E_U$
に代入して
$\begin{align}E_{electron} & =E_K-E_U \\ & =\frac{k^2m_ee^4}{2\hbar^2}+(-\frac{k^2m_ee^4}{\hbar}) \\ & =\frac{k^2m_ee^4-2k^2m_ee^4}{2\hbar} \\ & =-\frac{k^2m_ee^4}{2\hbar}\end{align}$
と成る.

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最終更新：2012年10月26日 10:07

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