ディラック方程式

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歴史
ラグランジアン密度
導出
- Klein-Gordon方程式からの導出
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歴史

ポール・ディラックがクライン・ゴルドン方程式
$\left( g^{\mu \nu}p_\mu p_\nu -mc \right)\phi=0$
を書き直した時間に対して一階の方程式です。
$(\gamma^\mu p_\mu-mc)\psi=0$
四元運動量 $p_\mu$ を共変微分 $i\hbar D_\mu$ に変えると場の量子論の方程式ができます
$\begin{align}\mbox{if } i\hbar D_\mu & =\hat{p}_\mu -eA_\mu \\ & = -i \hbar(\partial_\mu -i \frac{e}{\hbar} A_\mu) \\ \end{align}$
とすると(電磁場)
$\begin{align}(\gamma^\mu p_\mu-mc)\psi　&=(\gamma^\mu D_\mu-mc)\psi \\ & =\left\{\gamma^\mu\left(\hat{p}_\mu -eA_\mu\right) -mc\right\}\psi \\ & =\left\{\gamma^\mu\left(-i \hbar(\partial_\mu -i \frac{e}{\hbar} A_\mu)\right) -mc\right\}\psi \\ & =\left\{-i \hbar\gamma^\mu\left(\partial_\mu -i \frac{e}{\hbar} A_\mu\right) -mc\right\}\psi \\ & =\left\{i \hbar\gamma^\mu\left(\partial_\mu -i \frac{e}{\hbar} A_\mu\right) +mc\right\}\psi \\ & = 0\end{align}$
と成ります。

ラグランジアン密度

ラグランジアン密度はオイラー・ラグランジュ方程式に拠って
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}(x(t), \dot{x}(t), t)-\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}(x(t), \dot{x}(t), t)\right) =0$
が上記のディラック方程式になるようにラグランジアン密度: $\mathcal{L}$ を求めると
$\mathcaｌ{L}=c\bar{\psi} \left(\gamma^\mu D_\mu -mc\rig)\psi$
と成ります。(但し、 $\bar{\psi}=\psi^\dagger \gamma^0$ )
これがディラック方程式のラグランジアン密度になります。

導出

Klein-Gordon方程式からの導出

$\left(g^{\mu \nu} \partial_\mu \partial_\nu-\frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right)\psi=0$
$\left( g^{\mu \nu}p_\mu p_\nu -mc \right)\psi=0$
此れを因数分解し適当な係数を追加する
$\left(\sqrt{g^{\mu\nu}}\alpha_i \partial_\mu +\beta \frac{mc}{\hbar} \right)\left(\sqrt{g^{\mu\nu}}\alpha_j\partial_\nu - \beta \frac{mc}{\hbar} \right)\psi=\left(g^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu-\frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right)\psi=0$
$\begin{align}\left(\sqrt{g^{\mu\nu}}\alpha_i p_\mu +\beta mc \right)\left(\sqrt{g^{\mu\nu}}\alpha_j p_\nu - \beta mc \right)\psi & =g^{\mu\nu}\alpha_i p_\mu \alpha_j p_nu -\sqrt{g^{\mu\nu}} \alpha_i p_\mu \beta mc +\beta mc \sqrt{g^{\mu\nu}} \alpha_j p_\nu -\beta^2 m^2 c^2\\&=\left( g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu -m^2c^2\right)\psi \\& = \left( p_\mu p^\mu-m^2 c^2 \right)\psi\\ & = 0\end{align}$
上記の等式を実現させる為には
$\alpha_i \alpha^i=\beta^2=1$
$\alpha_i p_\mu \beta mc=\beta mc \alpha^i p^\mu=0$
$\alpha_i \alpha_j+\alpha_j \alpha_i=2\delta_{ij}$
$\delta_{ij}= \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$
$$$$

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最終更新：2014年07月21日 15:45

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