定係数2階同次線形微分方程式とは、以下のような式で表される微分方程式の事を指します。
ただし、a,bは定数とします。
ここで、この微分方程式の解を、
と考えて(1)に代入すると、exp(λx)≠0から、両辺の割り算が可能で、
(3)を満たすλが見つかれば、(2)に代入することで(1)の解とできる。
この(3)のことを特性方程式といいます。
特性方程式はλに対する2次方程式であるので、判別式によって
(Ⅰ)異なる実数解を持つ場合
(Ⅱ)異なる虚数解を持つ場合
(Ⅲ)重解を持つ場合
の3通りが考えられます。それぞれの場合に対して一般解を考えましょう。
(Ⅰ)異なる実数解を持つ場合
2つの実数解をそれぞれα,βとすると、
これらはそれぞれ(1)の解です。これでも答えの一部としては正しいです。
ですが(1)は線形方程式であることから、これらの解を実数倍して足し合わせたもの(=一次結合)も(1)の解と考えられます。
従って、一般解は
となります。
(Ⅱ)異なる虚数解を持つ場合
2つの虚数解は共役なので、それぞれa±ibとおきます。
(6)を一次結合の形で表記すると、
ここでオイラーの定理
を用いると
これらは互いに共役なので、和と差をとると、これらの一次結合は一般解となるので、
(Ⅲ)重解を持つ場合
重解をαとおくと、
これと一次独立な解を
(12)を(1)に代入してC(x)を求めると、
ゆえに、
以上をまとめると(特性方程式の判別式をDとする。)

の解
最終更新:2009年05月31日 02:20