2階非同次線形

定係数2階非同次線形微分方程式とは、以下のような式で表される微分方程式の事を指します。

$\frac{d^{2} y}{dx^{2}} + a\frac{dy}{dx} + by=R(x)$ 　　　　　 $(1)$

ただし、a,bは定数とします。

まず、同次形（左辺=0）を解きます。

同次形の一般解を次の形とします。

$y= C_{1} u_{1}(x) + C_{2} u_{2}(x)$ 　　　　 $(2)$

u1(x)、u2(x)は定数項C₁,C₂以外の部分（余関数）とします。

この時、u1(x)、u2(x)は一次独立なので、次のことが成り立ちます。

$W(x)\equiv u_{1}(x) u_{2}'(x)-u_{2}(x) u_{1}'(x) \neq 0$ 　　　　 $(3)$

これは、行列式を用いて次のようにもかけます。

$W(x) = \left| \begin{array}{cc} u_{1}(x) \ \ u_{2}(x) \\ u_{1}'(x) \ \ u_{2}'(x) \end{array} \right|$ 　　　　 $(3&#039;)$

このW(x)をロンスキアンと言います。

ここで、(2)のC1,C2をxの関数とみなして、以下の条件を追加する。（定数変化法）

$C_{1}'(x) u_{1}(x) + C_{2}'(x) u_{2}(x) = 0$ 　　　　 $(4)$

(4)を、C1,C2について解くと、

$C_{1}'(x)= -\frac{R(x)u_{2}(x)}{W(x)}$
$C_{2}'(x)= \frac{R(x)u_{1}(x)}{W(x)}$ 　　　　 $(5)$

これらを積分することで、C1およびC2が求まり、特殊解が求まる。

特殊解をysとすると、

$y_{s} = -u_{1}(x) \int \frac{R(x)u_{2}(x)}{W(x)} dx + u_{2}(x) \int \frac{R(x)u_{1}(x)}{W(x)} dx$ 　　　　 $(6)$

一般解は(2)と(6)の和で表されるので、

$y = C_{1} u_{1}(x)+C_{2} u_{2}(x) -u_{1}(x) \int \frac{R(x)u_{2}(x)}{W(x)} dx + u_{2}(x) \int \frac{R(x)u_{1}(x)}{W(x)} dx$ 　　　　 $(7)$

最終更新：2009年05月31日 02:21

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