アットウィキロゴ
royu'S　page
アットウィキロゴ
royu'S　page
ページ一覧
この定理はオイラーさんが解いたもの。その式は

\style \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{n^{2}}

という形をしたもの。

バーゼルはオイラーさんの故郷の名前だそうな。バーゼルといえば時計の聖地！

一度でいいからバーゼルフェアに行ってみたい・・・。(何も買えないだろうが)

この式はフーリエの方法を使っても解けるようだが、ここではオイラーの解き方を書きたいと思う。

アイデアが奇抜過ぎる。

まず、sinxをマクローリン展開して、

\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots (1)

とする。右辺をxでくくると

\sin x = x \left( 1 - \frac{1}{3!}x^2 + \frac{1}{5!}x^4 - \frac{1}{7!}x^6 \cdots \right)

となる。ここでsinxが0をとるxを考える。それは

x = \pm n\pi (n \in \mathbb{N})

となるはずである。(nは自然数)

ここで、右辺を因数分解すると形式的に

\sin x = x\left(1- \frac{x}{1\pi}\right)\left(1+\frac{x}{1\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\cdots

と書ける。

(これは

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

からなんとなく察せると思う)

すると、右辺は

\sin x = x\left(1-\frac{x^2}{(1\pi)^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{(2\pi)^2}\right) \cdots

となる。

ここで、右辺のxの3乗の係数は

-\left(\frac{1}{(1\pi)^2}+\frac{1}{(2\pi)^2}+ \cdots \right)

となっている。これと(1)式のxの3乗の係数は一致するはずなので、

-\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{(1\pi)^2}+\frac{1}{(2\pi)^2}+ \cdots \right)

が成り立つ。

両辺の形を整理して

-\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}

よって、

\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

となる。

まさか、マクローリン展開で解くとは・・・。いやはやすごい！

ところでこの式をよく見てみると

\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2} = \left( 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2} \cdots \right)\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots \right)\left(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{25^2}+\cdots\right)\cdots

という風に書き直すことができる。

上の式は、素数についての式になっている。

(後ろの・・・には7、11、13・・・と続く。素因数分解の性質からすべての数をカバーしているのが察せると思う)

それぞれの括弧の中は等比級数になっているので形を変えて、

\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}}\cdots

と表せる。これをもう少し形式的な形で表すと

\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2} = \prod \frac{1}{1-p^{-2}}

となる。ただし、pはすべての素数の上を動く。

つまり、これは

\prod \frac{1}{1-p^{-2}} = \frac{\pi^2}{6}

となり、一見バラバラな素数が円周率πとなんらかの関わりがあるという

ことを表す式になっている。

最近、リーマン予想に関する動画を見て、なかなかおもしろかったので書いてみた。

リーマン予想はミレニアム問題(解いたら100万ドル！)なので、興味のある人は

挑戦してみるといいと思うよ！！！

「バーゼルの定理」をウィキ内検索
最終更新：2009年12月16日 19:16