ある行列に対角行列を加算しても固有ベクトルは変わらない？

その証明をしよう。

まず、ある行列を

$A$

とし、それに

$\varepsilon I$

を加えたものを

$\tilde{A} = A + \varepsilon I$

とする。

また、

$A,\tilde{A}$

に対する固有値を

$\lambda,\tilde{\lambda}$

とする。

このとき

$A\vec{x} = \lambda \vec{x} , \tilde{A} \vec{x} = \tilde{\lambda} \vec{x}$

が成り立つ。

今、以下の行列式

$\left| \tilde{A} - \tilde{\lambda} I \right| = 0$

を考える。

これは

$\left| A + \varepsilon I - \tilde{\lambda} I \right| = 0$

$\left| A - (\tilde{\lambda} - \varepsilon) I \right| = 0$

となる。

$\left| A - \lambda I \right| = 0$

が成り立つことから

$\lambda = \tilde{\lambda} - \varepsilon$

となるはずである。

これより、

$\tilde{\lambda} = \lambda + \varepsilon$

となり

$\tilde{A} \var{x} = \tilde{\lambda} \var{x}$

$(A + \varepsilon I) \var{x} = (\lambda + \varepsilon) \var{x}$

$A \var{x} = \lambda \var{x}$

という結果が得られる。

だから固有ベクトルは同じってことになる。

さらに、行列が正則である必要十分条件のひとつに

「すべての固有値が０ではない」

というものがある。
(これは行列式の値が固有値の掛け算になることからわかる)

数値計算で固有値を求めるときに、どうも０付近でブレることが多い気がする。

ちょっと気になったときに試してみるといいかもしれない。

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最終更新：2010年05月27日 18:01

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