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画像変換 - (2012/07/07 (土) 16:27:42) の最新版との変更点

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・画像変換
　座標P（X，Y）を変換行列Mを用いて座標P'に変換

・アフィン変換
　変換行列M・変換前座標P＝変換後座標P'
|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|＊|＊＊||＊|＊|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|
|┌|a|b|c|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|　
|│|d|e|f|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|　
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝aX＋bY＋c×1
　Y'＝dX＋eY＋f×1
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
----
・原点中心の拡大縮小
|┌|Sx|0|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|0|Sy|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝Sx×X＋0×Y＋0×1＝Sx×X
　Y'＝0×X＋Sy×Y＋0×1＝Sy×Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
　　Sx＝Syで等方性の拡大縮小
　　Sx＜0，Sy＜0で、Y軸反転，X軸反転
----
・原点中心の回転
|┌|cosΘ|-sinΘ|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|sinΘ|cosΘ|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝cosΘ×X－sinΘ×Y＋0×1＝X×cosΘ－Y×sinΘ
　Y'＝sinΘ×X＋cosΘ×Y＋0×1＝X×sinΘ＋Y×cosΘ
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
　　Θ＜0で逆回転
----
・Y軸平行のせん断
|┌|1|0|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|tanΘ|1|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝1×X＋0×Y＋0×1＝X
　Y'＝tanΘ×X＋1×Y＋0×1＝X×tanΘ＋Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
----
・X軸平行のせん断
|┌|1|tanΘ|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|0|1|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝1×X＋tanΘ×Y＋0×1＝X＋Y×tanΘ
　Y'＝0×X＋1×Y＋0×1＝Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
----
・原点からの平行移動
|┌|1|0|Tx|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|0|1|Ty|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝1×X＋0×Y＋Tx×1＝X＋Tx
　Y'＝0×X＋1×Y＋Ty×1＝Y＋Ty
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
----
[[Direct2D]]
----

・画像変換
①座標P（X，Y）を、回転行列Rの乗算と移動行列Tの加算を用いて、座標P'（X'，Y'）に変換
|┌|S・cosΘ|－S・sinΘ|┐|┌|X|┐|＋|┌|Tx|┐|＝|┌|X'|┐|
|└|S・sinΘ|S・cosΘ|┘|└|Y|┘||└|Ty|┘||└|Y'|┘|
　X'＝S（X・cosΘ－Y・sinΘ）＋Tx
　Y'＝S（X・sinΘ＋Y・cosΘ）＋Ty

②座標P（X，Y）を変換行列Mを用いて座標P'に変換
→[[アフィン変換]]
→[[射影変換]]
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・アフィン変換　
　変換行列M・変換前座標P＝変換後座標P'
|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|＊|＊＊|＊|＊|＊|＊＊|＊|
|┌|a|b|c|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|　
|│|d|e|f|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|　
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝aX＋bY＋c×1
　Y'＝dX＋eY＋f×1
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
----
・原点中心の拡大縮小
|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|＊|＊＊|＊|＊|＊|＊＊|＊|
|┌|Sx|0|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|0|Sy|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝Sx×X＋0×Y＋0×1＝Sx×X
　Y'＝0×X＋Sy×Y＋0×1＝Sy×Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
　　Sx＝Syで等方性の拡大縮小
　　Sx＜0，Sy＜0で、Y軸反転，X軸反転
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・原点中心の回転
|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|＊|＊＊|＊|＊|＊|＊＊|＊|
|┌|cosΘ|-sinΘ|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|sinΘ|cosΘ|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝cosΘ×X－sinΘ×Y＋0×1＝X×cosΘ－Y×sinΘ
　Y'＝sinΘ×X＋cosΘ×Y＋0×1＝X×sinΘ＋Y×cosΘ
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
　　Θ＜0で逆回転
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・Y軸平行のせん断
|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|＊|＊＊|＊|＊|＊|＊＊|＊|
|┌|1|0|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|tanΘ|1|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝1×X＋0×Y＋0×1＝X
　Y'＝tanΘ×X＋1×Y＋0×1＝X×tanΘ＋Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
----
・X軸平行のせん断
|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|＊|＊＊|＊|＊|＊|＊＊|＊|
|┌|1|tanΘ|0|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|0|1|0|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝1×X＋tanΘ×Y＋0×1＝X＋Y×tanΘ
　Y'＝0×X＋1×Y＋0×1＝Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
----
・原点からの平行移動
|＊|＊＊|＊＊|＊＊|＊|＊|＊＊|＊|＊|＊|＊＊|＊|
|┌|1|0|Tx|┐|┌|X|┐||┌|X'|┐|
|│|0|1|Ty|│|│|Y|│|＝|│|Y'|│|
|└|0|0|1|┘|└|1|┘||└|1|┘|
　X'＝1×X＋0×Y＋Tx×1＝X＋Tx
　Y'＝0×X＋1×Y＋Ty×1＝Y＋Ty
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
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・射影変換（ホモグラフィ）
　アフィン変換では、せん断（長方形→平行四辺形）は変形可能だが、長方形→台形への変形できない。
　台形へ変形するには、射影変換が必要。
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・問題点
　図形の各座標Pに対して、変換行列Mを用いて座標P'を求める方法では、変換後の図形の座標P'が虫食い状態となる。
　実際には、変換後の座標P'に対して変換行列の逆行列M'を用いて、もとの座標Pを参照した方が良い。
　参照する座標Pがない場合は、近傍の座標から補間を行って埋める。
|M・P|＝|P'|
|M'・M・P|＝|M'・P'|
|P|＝|M'・P'|
　M'＝Mの逆行列
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[アフィン変換]]
[[射影変換]]
[[Direct2D]]
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