画像変換 - Stg Builder @ wiki

• 画像変換

①座標P（X，Y）を、回転行列Rの乗算と移動行列Tの加算を用いて、座標P'（X'，Y'）に変換

┌

S・cosΘ

－S・sinΘ

┐

┌

X

┐

＋

┌

Tx

┐

＝

┌

X'

┐

└

S・sinΘ

S・cosΘ

┘

└

Y

┘

└

Ty

┘

└

Y'

┘

　X'＝S（X・cosΘ－Y・sinΘ）＋Tx
　Y'＝S（X・sinΘ＋Y・cosΘ）＋Ty

②座標P（X，Y）を変換行列Mを用いて座標P'に変換
→アフィン変換
→射影変換

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• アフィン変換　

　変換行列M・変換前座標P＝変換後座標P'

＊	＊＊	＊＊	＊＊	＊	＊	＊＊	＊	＊	＊	＊＊	＊
┌	a	b	c	┐	┌	X	┐		┌	X'	┐
│	d	e	f	│	│	Y	│	＝	│	Y'	│
└	0	0	1	┘	└	1	┘		└	1	┘

　X'＝aX＋bY＋c×1
　Y'＝dX＋eY＋f×1
　1＝0×X＋0×Y＋1×1

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• 原点中心の拡大縮小

＊	＊＊	＊＊	＊＊	＊	＊	＊＊	＊	＊	＊	＊＊	＊
┌	Sx	0	0	┐	┌	X	┐		┌	X'	┐
│	0	Sy	0	│	│	Y	│	＝	│	Y'	│
└	0	0	1	┘	└	1	┘		└	1	┘

　X'＝Sx×X＋0×Y＋0×1＝Sx×X
　Y'＝0×X＋Sy×Y＋0×1＝Sy×Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
　　Sx＝Syで等方性の拡大縮小
　　Sx＜0，Sy＜0で、Y軸反転，X軸反転

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• 原点中心の回転

＊	＊＊	＊＊	＊＊	＊	＊	＊＊	＊	＊	＊	＊＊	＊
┌	cosΘ	-sinΘ	0	┐	┌	X	┐		┌	X'	┐
│	sinΘ	cosΘ	0	│	│	Y	│	＝	│	Y'	│
└	0	0	1	┘	└	1	┘		└	1	┘

　X'＝cosΘ×X－sinΘ×Y＋0×1＝X×cosΘ－Y×sinΘ
　Y'＝sinΘ×X＋cosΘ×Y＋0×1＝X×sinΘ＋Y×cosΘ
　1＝0×X＋0×Y＋1×1
　　Θ＜0で逆回転

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• Y軸平行のせん断

＊	＊＊	＊＊	＊＊	＊	＊	＊＊	＊	＊	＊	＊＊	＊
┌	1	0	0	┐	┌	X	┐		┌	X'	┐
│	tanΘ	1	0	│	│	Y	│	＝	│	Y'	│
└	0	0	1	┘	└	1	┘		└	1	┘

　X'＝1×X＋0×Y＋0×1＝X
　Y'＝tanΘ×X＋1×Y＋0×1＝X×tanΘ＋Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1

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• X軸平行のせん断

＊	＊＊	＊＊	＊＊	＊	＊	＊＊	＊	＊	＊	＊＊	＊
┌	1	tanΘ	0	┐	┌	X	┐		┌	X'	┐
│	0	1	0	│	│	Y	│	＝	│	Y'	│
└	0	0	1	┘	└	1	┘		└	1	┘

　X'＝1×X＋tanΘ×Y＋0×1＝X＋Y×tanΘ
　Y'＝0×X＋1×Y＋0×1＝Y
　1＝0×X＋0×Y＋1×1

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• 原点からの平行移動

＊	＊＊	＊＊	＊＊	＊	＊	＊＊	＊	＊	＊	＊＊	＊
┌	1	0	Tx	┐	┌	X	┐		┌	X'	┐
│	0	1	Ty	│	│	Y	│	＝	│	Y'	│
└	0	0	1	┘	└	1	┘		└	1	┘

　X'＝1×X＋0×Y＋Tx×1＝X＋Tx
　Y'＝0×X＋1×Y＋Ty×1＝Y＋Ty
　1＝0×X＋0×Y＋1×1

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• 射影変換（ホモグラフィ）

　アフィン変換では、せん断（長方形→平行四辺形）は変形可能だが、長方形→台形への変形できない。
　台形へ変形するには、射影変換が必要。

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• 問題点

　図形の各座標Pに対して、変換行列Mを用いて座標P'を求める方法では、変換後の図形の座標P'が虫食い状態となる。
　実際には、変換後の座標P'に対して変換行列の逆行列M'を用いて、もとの座標Pを参照した方が良い。
　参照する座標Pがない場合は、近傍の座標から補間を行って埋める。

M・P	＝	P'
M'・M・P	＝	M'・P'
P	＝	M'・P'

　M'＝Mの逆行列

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[アフィン変換]]
射影変換
Direct2D

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