アレのパラドックス

アレが示した期待効用理論の反例。

以下の意思決定問題を例として考えてみる。

問題１
Ａ　100％　100万ドル
Ｂ　10％　 500万ドル　89％　100万ドル　1％　0ドル

この問題１の場合、多くの人が選択肢Ａを選択するだろう。

問題２
Ｃ　11％　100万ドル　89％　0ドル　
Ｄ　10％　500万ドル　90％　0ドル

この問題２の場合は、多くの人が選択肢Ｄを選択すると予想される。

しかしこの結果は期待効用に理論に矛盾する。
なぜなら
問題１のＡと問題２のＤはそれぞれ
Ａ　10％　100万ドル　89％　100万ドル　1％　100万ドル
Ｂ　10％　500万ドル　89％　100万ドル　1％　0ドル

Ｃ　10％　100万ドル　89％　0ドル　1％　100万ドル
Ｄ　10％　500万ドル　89％　0ドル　1％　0ドル

と書き換えることが可能である。
また、下線部はそれぞれの問題においては共通しているので、期待効用理論の独立性の公理により選考においては考慮しなくてもよいことになる。

そのうえで、
Ａ>Ｂならば
0.10・u(100万ドル)＋0.01・u(100万ドル)＞0.10・u(500万ドル)＋0.01・u(0ドル)…①
Ｃ＜Ｄならば
0.10・u(100万ドル)＋0.01・u(100万ドル)＜0.10・u(500万ドル)＋0.01・u(0ドル)…②
となるが、実際にはＡとＢの組み合わせとＣとＤの組み合わせは同じ選択肢の比較をしているため、①と②は矛盾する。

これは、独立性の公理からの逸脱を表している。
そしてこのパラドックスは心理実験において、多くの被験者によって示されることがわかっており、確実性効果(certainty effect)によって生じると考えられている。