問２

【候補1】
３つの関数
ｙ＝ｘ^２+3ｘ　・・・（１） ｙ＝３ａｘ＾２＋ａｘ　・・・（２） ｙ＝ｘ^２+３ｂｘ+３　・・・（３）
について考える。

（２）のグラフの頂点が（１）のグラフの上にあるとき、ａ＝アイ／３　である。
（３）のグラフの頂点がｘ軸の上にあるとき、ｂ＝（ウ√エ）／３　である。
ａ，ｂがこれらの値のとき、－３≦ｘ≦３において、
（２）におけるｙの最小値は　オカキ／クケ　（３）におけるｙの最小値は　コ　である。

ａ＝－１／２とする。
（１）と（２）の頂点の座標が一致するためには、 （１）のグラフをｙ軸方向に　サ／シ　だけ動かせばよい。
（３）の頂点はｂの値に従って ｙ＝　スｘ＾２　＋　セ　の上を動くので、
（３）の頂点が（１）の頂点と一致することはソ｛１：ある　２：ない｝。
（３）の頂点のｙ座標が最大になるとき、ｂ＝　タ　であり、
さらにｘが－３≦ｘ≦３を動くならば、
チ｛１：（１）と（２）　２：（２）と（３）　３：（１）と（３）｝において
ｙはもっとも小さい値　ツテト　をとり、
ナ｛１：（１）　２：（２）　３：（３）｝において、
ｙは最も大きい値　ニヌ　をとる。

【候補2】
2つの関数f(x)=x^2-4ax+1,g(x)=x^2-4x+3を考える
このときy=f(x)の頂点の座標は(1)である。

つぎにy=x^2-3x+1/2のグラフをy=g(x)のグラフに重ねるためには
x軸方向に(2)、y軸方向に(3)平行移動させればよい。
またy=g(x)が y≦0となるようなxの範囲は(4)である。

以下、(4)の範囲において、関数f(x)の最大値及び最小値を考える。

(5)≦aのときf(x)は最小値(6)をとる。
(7)<a<(5)のときf(x)は最小値(8)をとる。
(7)≧aのときf(x)は最小値(9)をとる。

次にa<1のときf(x)は最大値(10)をとる。
a≧1のときf(x)は最大値は(11)をとる。

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a,b,c,dを0でない実数とし，b＞-1,d＞0とする…(条件1)。グラフ
G1:y=f1(x)=x^2+4ax+3
G2:y=f2(x)=bx^2+4cx+3
G3:y=f3(x)=cx+4b
を考える。G1の式を平方完成すると
y=(x+[ア]a)^2-[イ]a^2+3
であり，G1の頂点の座標P1はP1(-[ア]a,-[イ]a^2+3)である。
以下では，P1は第1象限にあり，かつG2上にあるとする。
P1が第一象限にあるための条件は，[ウ]＜a＜√([エ])/[オ]である。…(条件2)
P1がG2上にあるための条件は，c=a(b+[カ])/[キ]である。…(条件3)
(α)条件(1)(2)(3)の下，-1≦x≦1におけるy=f2(x)の最大値Mと最小値mを求めよう。
(1)a＞b/(b+[ク])(b＞0)のとき　M=[ケ]ab+[コ]a+b+3　m=[サシ]ab-[ス]a+b+3
(2)[セ]＜a＜b/(b+[ク])(b＞0)のとき　M=[ケ]ab+[コ]a+b+3　m=[ソ]a^2b+[タ]a^2+3
(3)[セ]＜a＜-b/(b+[ク])(b＜0)のとき　M=[サシ]ab-[ス]a+b+3　m=[ソ]a^2b+[タ]a^2+3
(4)a＞-b/(b+[ク])(b＜0)のとき　M=[サシ]ab-[ス]a+b+3　m=[ケ]ab+[コ]a+b+3
である。今，a=dbであったとすると，Mの最小値は[チ]，mの最大値は[ツ]である。
(β)条件(1)(2)(3)の下，G3がG1,G2の頂点をいずれも通るとき，b=[テ]+[ト]√[ナ]または[テ]-[ト]√[ナ]である。

[answers]
ア：2　イ：4　ウ：0　エ：3　オ：2
カ：1　キ：2　ク：1　ケ：2　コ：2
サ：-　シ：2　ス：2　セ：0　ソ：3
タ：2　チ：3　ツ：2　テ：3　ト：2
ナ：2

☆コメント：作った後あまり確認していないのでミスがあるかもしれないが，もしないのだとすれば，絶妙なバランスを持った問題だと思う。平行移動も入れようかと思ったが，問題数の関係で省いた。