問3

【候補1】
Σ[1,n]k(k+1)(k+2) = 1/4{ ア n^4 + イ n^3 + ウ n^2 + エ n }である。
Σ[1,n]k(k+1)(k+2) - Σ[1,n](k-1)k(k+1) の値は{Σ[1,n]k(k+1)(k+2) - Σ[1,n](k-1)k(k+1)}
を考えることで容易に求まり、その計算結果は　 オn^3 + カ n^2 + キ n　である。
さらにΣ[1,n]{k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)} を計算して、
Σ[n,1]{ ク k(k+1)} = オn^3 + カ n^2 + キ n　となる。

Σ[1,n]k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) - Σ[1,n](k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)
= n^5 + ケコ n^4 + サシ n^3 + スセ n^2 + ソタ n

Σ[1,n]k^3 = 1/4 {n(n+1)}^2 を用いれば計算により、
Σ[1,n]k^4 = 1/ チツ n(n+1)( テ n +1)( ト n^2 + ナ n + ニ )
を得る。

【候補2】
正四面体ABCDの頂点上を動きまわる動点Pがある。
Pは、t=0においては頂点Aにあり、１秒ごとに、今いる点に留まるか、ほかの３つの点のいずれかに移動するかを等確率で選択する。
t=n（nは自然数）においてPがm個の頂点を訪れている確率をPn(m)とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1)P2(2)を求めると、(ア)/(イ)であり、P3(2)を求めると、(ウ)/(エ)である。

(2)Pn+1(3)をPn(3)とPn(2）で表すと、
Pn+1(3)=(オ)/(カ)×Pn(3)＋(キ)/(ク)×Pn(2)である。

(3)t=nにおけるmの期待値をE(n)とおくとき、
E(n+1)=(ケ)/(コ)×Pn(1)+(サ)/(シ)×Pn(2)+(ス)/(セ)×Pn(3)+(ソ)/(タ)×Pn(4)+なので、
E(n+1)=(チ)/(ツ)×E(n)＋(テ)/(ト)である。

(4)E(m)を求めると、[(ナ)^n-(ニ)^n]/(ヌ)^nである。

【候補3】
数列{a_n} の第一階差数列を {b_n}、第二階差数列を {c_n}とする。
c_n = 2n+2^n である。

a_1 =0、b_1=0　のときは、
b_n = ア n^2 + イ n - ウ + エ 2^n　であり、
a_n = 1/3 {n(n+ オ )(n- カ )｝+ 2^n
となる。

またa_11 = 2012となるためのa_1、b_1の条件は
キ a_1 + クケ b_1 + コサシ = 0
である。

【候補4】
(1)
等差数列 A[n] において A[3]=13　A[8]=-2 とする。
この数列 A[n] の一般項は A[n]=アイ+ウエ
また数列 A[n] の初項から第 n 項までの和を S[n] とすると
S[n]= オカ/キn^2+クケ/コn
であり, S[n] が最大となるのは ｎ=サ のときである。

(2)
数列 B[n] が
B[1]=9　B[2]=7　B[3]=7　B[4]=11　B[5]=23　B[6]=51　B[7]=111　を満たすとき
その B[n] の階差数列 C[n] の一般項は C[n]=シ^n-ス
となるので，数列 B[n] の一般項は B[n]=セ^n-ソｎ+ナニ

また，数列 B[n] の初項から第 n 項までの和を S'[n] とした場合
S[n] < S'[n] となる最小の ｎ はヌである。

【候補5】
nを自然数とする。
数列an、bnが次の漸化式を満たしているとする。

a1=1 b1=-1
an+1=-an +4bn　…①
bn+1=2an +bn　 …②

①と②とから、更なる漸化式
an+1 +pbn+1=q(an +pbn)　…③
を作ることを考える。

まず、pとqは連立方程式
(アイ)+(ウ)p=q
(エ)+p=pq
を満たす。

これを解くと、p=(オカ) q=(キク)　又はp=(ケ) q=(コ)　となる。

これらを③に代入して、an+pbnに関する漸化式を解くと、

an+(オカ)bn=(サ)・(キク)^n-1
an+ケbn=(シ)・コ^n-1　となる。

これらからbnを消去すると、

an=[(スセ)/(ソ)]{コ^n-1 -(タ)・(キク)^n-1}　であると分かる。

bnも同様に
bn=[(チツ)/(テ)]{コ^n-1 +(ト)・(キク)^n-1}　であると分かる。

又、∑(8,k=1)an=(ナニヌネノ)
　　∑(8,k=1)(an+bn)=(ハヒフヘホ)　である。