問1

対数関数の問題募集中です！！

0≦x≦π/2のとき、関数y=2cos^2x+2sinxcosxの最大値、最小値を考えよう
cos^2x=(1)、2sinxcosx=(2)であることを用いると
2cos^2x+2sinxcosx=(3)となる
したがってx=(4)のときに最大値(5)をとり
x=(6)のときに最小値(7)をとる

sin36°＝x,cos36°＝yとおく。このときsin72°をx,yを用いて表すと(1)であり
sin108°をxを用いて表すと=(2)である。
ここでsin72°=sin108°であり、sin36°≠0であることを用いて
yの二次方程式(3)=0が成立する。したがってcos36°=(4)である

0≦x≦2πとする。
このときsin2x+sinx+cosxの最小値を求めてみよう。

sinx+cosx=tとおく。このときtの範囲は(1)≦t≦(2)である。
またt^2=(3)である。
ここでf(x)をtを用いて表すとf(x)=(4)である
したがってt=(5)すなわちx=(6)のときに最小値(7)を取る。

0≦θ<2πとする
sinθ-cos2θ=-1を満たすθについて考えよう

cos2θをsinθをもちいて表すと(1)である
したがってsinθ(sinθ+(2))=0が成立する　
これを満たすsinθ=(3),(4)であり
θ=(5),(6),(7)である

xを実数として、方程式　2(log2 x)^2+15=11(log2 x)+3(logx 16)　を考える。

真数と底の条件より　x>(　い　), x≠(　ろ　)　である。

又、logx 2=(　は　)/log2 x　であるから
与等式は　log2 x=t とおくと、
2t^3-11t^2+15t-(　に　)=0 となる。

これの左辺を因数分解すると、(t-(　ほ　))(2t^2-(　へ　)t+(　と　))=0　だから、
この等式を解くと、t=ほ，((　ち　)±√(　り　)i)/(　ぬ　)　となる。

tは実数値をとるから　t=ほ　と分かるので
与方程式の解は x=(　る　)　である。　

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

X=log{x}2,Y=log{4}xとする。
方程式16X^3+24X^2-135X+16Y^3+24Y^2-135Y+24(X+Y+1)=0を解こう。
真数と底の条件よりx＞0かつx≠1である。
t=log{x}2+log{4}xとおく。
ところで,底の変換公式を変形すると[ア]となる。ただし，a,b,cは対数の定義に反しない実数である。[ア]に当てはまるものを，次の０～４のうちから一つ選べ。
０：(log{a}b)(log{a}c)=log{a}bc
１：(log{a}b)(log{a}c)=log{2a}bc
２：(log{a}b)(log{a}c)=log{b}c
３：(log{a}b)(log{b}c)=log{ab}bc
４：(log{a}b)(log{b}c)=log{a}c
これを用いると
t^2=[イ]^2+[ウ]^2+[エ]
t^3=[イ]^3+[ウ]^3+([オ]/2)([イ]+[ウ])
である。
[イ],[ウ]に当てはまるものを，次の０～５のうちから一つずつ選べ。
０：X　１：1/X　２：-X　３：Y　４：1/Y　５：-Y
よって，与えられた方程式はtを用いて
[カキ]t^3+[クケ]t^2-135t=0
となる。この方程式を解くと
t=0,-[コサ]/4,[シ]/4
である。
t=[シ]/4の時のxの値を求めよう。
t=1/(log{2}x)+log{2}x/[ス]
と表されることを用いると，
x=[セ],√[ソ]を得る。
また,t=0,-[コサ]/4の場合も合わせれば方程式の実数解xは全部で[タ]個ある。

[answers]
ア：4　イ：0　ウ：3　エ：3　オ：3
カ：1　キ：6　ク：2　ケ：4　コ：1
サ：5　シ：9　ス：2　セ：4　ソ：2
タ：4

☆コメント：すべての解を簡単な形にすることに失敗。問題量は適切と思う。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

y=sin2x+cosxとおくと
y^2=sin^2(2x)+([チ]sinx+1)cos^2(x)
f(x)=y^2+ay+bと定義すると,xを用いて
f(x)=([ツ]sinx+1)^2(cos^2(x))+[テ]([ト]sinx+1)cosx+[ナ]
となる。[ツ],[テ],[ト],[ナ]に当てはまるものを，次の０～９のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返して選んでもよい。
０：-2　１：2　２：3　３：a　４：2a　５：3a　６：b　７：b-a　８：b-2a　９：b-3a
以下，必要ならばy=sin2x+cosxのグラフを利用してよい。(このページ最下段に添付ファイル「yのグラフ」がありますのでそれをクリック)
(α)f(x)がy=1/5で最小値21/25をとるとする。
xが0≦x＜2πを動くとき，f(x)=1/25となるようなxは[ニ]個ある。
(β)f(x)がy=-1/5で最小値-1/25をとるとする。
xが0≦x＜2πを動くとき，f(x)＞0となるようなxは
0≦x＜π/[ヌ],[ネ]π/[ノ]＜x＜[ハ]π/[ヒ],[フヘ]π/[ホ]＜x≦2π
である。

[answers]
　　 　チ：4　ツ：1　テ：3　ト：1
ナ：6　ニ：4　ヌ：2　ネ：7　ノ：6
ハ：3　ヒ：2　フ：1　へ：1　ホ：6

☆コメント：グラフを読み取る能力を見る。こんな出題が許されるかどうかは知らない。