問2

3次関数f(x)をx=1で極小値-1をとる関数とする
このとき、f(x)とy=-1との２つの交点のうちx座標が1でないものをP(a,-1)とすると
f(x)=(x-ア)＾^イ(x-ウ)-1 と表せる
よってこの関数の極大値のx座標は(エa+オ)/カ

(ⅰ)まず、f(x)が原点を通る時を考える
このとき、a≠1より
a=キク となり
f(x)とy=-１で囲まれた部分の面積は
ケ/コである
(ⅱ)次にQ(b,f(b))を考える
点Pにおけるf(x)の接線をl₁
点Qにおけるf(x)の接線をl₂
とすると
直線l₁の式は
y=(x-サ)²(x-シ)-1となる
またaが自然数のとき
(l₁の傾き)＊(l₂の傾き)=2となる(a,b)は
(a,b)=(ス,セ)または(ス,ソ/タ)のときである

関数f(x)は次の等式を満たす。但し、f´(x)はf(x)の導関数である。

2f(x)=3∫[0→x]f´(t)dt -x^2 +3x+4

まず、この等式の両辺を微分し、整理すると
f´(x)=(ア)x-(イ)　であると分かる。
f´(t)=アt-イ　を与等式に代入することにより、
f(x)=x^(ウ) -(エ)x+(オ)　と定められる。

(1) グラフy=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積は(カ)/(キ) である。

(2) 点(0,f(0))における、グラフy=f(x)との接線lの方程式は
　　l:y=(クケ)x+(コ)　である。
　　又、g(x)=ax^2 +cとして、グラフy=g(x)が、点(1,g(1))において接線lを持つとき、
　　a=(サシ)/(ス) c=(セ)/(ソ)　となる。

(3) x軸と直線l、及びグラフy=f(x)で囲まれた部分の面積は(タ)/(チ)、
　　x、y各軸と直線l、及びグラフy=g(x)で囲まれた部分の面積は{(ツ)-(テ)√(ト)}/(ナ) である。