問１

（１）
x^2-4x-3=0の解をα、βとする。ただし(α＜β)とする。
このときα＜n＜βを満たす整数nは全部で(1)個ある。
またα^2+β^2=(2)でありα^3+β^3=(3)である。

次に1/α＜m＜1/βを満たす整数mは全部で(4)個あり
α^3-(3/α)^3=(5)である。

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α＝√(4+√12)とする(２重根号)

乗法公式　(x+y)^2=x^(い)+(ろ)xy+y^(は)
を応用して、αの2重根号を外すと

α=(に)+√(ほ)　となる

又、αの小数部分をβと定義すると

β=(へ)+√(と)　となる

従って　α^2+β^2=(ち)
α^3-β^3=(り)
α^7-β^7=(ぬ)
となる
(桁数は関係ありません)

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a(n)=(1+√n)/(2+√3),b(n)=(n+√3)/(2+√3)とする。
(α)
a(0)の分母を有理化すると
a(0)=[ア]-√[イ]
となる。
b(1)の分母を有理化すると
b(1)=[ウエ]+√[オ]
となる。
(β)nを負でない整数とする。
2次方程式
a(n)x^2-2√(b(n))x-1=0
が異なる2つの実数解を持つようなnは[カ]個ある。
また、そのようなnのうち最大であるものをM、最小であるものをmとする。
a(m)x^2+2√(b(m))x+1=0…(甲)の実数解をx_1,x_2(x_1＜x_2)
a(M)x^2+2√(b(M))x+1=0…(乙)の実数解をx_3,x_4(x_3＜x_4)
とすると
x_1=√([キ]+√[ク])(√[ケ]-√(√[コ]-[サ]))
x_2=√([キ]+√[ク])(√[ケ]+√(√[コ]-[サ]))
となる。
　また，A=(1+√m)(x_2-x_1)，B=(1+√M)(x_4-x_3)，C=2√([キ]+√[ク])の間には[シ]なる関係がある。[シ]に当てはまるものを下の０～３のうちから一つ選べ。
０：A＜B＜C
１：A＜C＜B
２：B＜A＜C
３：B＜C＜A

[answers]
ア：2　イ：3　ウ：-　エ：1　オ：3
カ：6　キ：2　ク：3　ケ：3　コ：3
サ：1　シ：1

☆コメント：[カ]で止まる人いるでしょう。そのために有理化2問で得点を与える工夫をした。

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（２）
【候補1】
自然数nに関する条件P、Q、Rを次のように定める
Ｐ： nと12との最大公約数は6である
Ｑ： nは6の倍数である
Ｒ： nを12で割った余りが6である

(1)PはQであるための　ア　。
(2)PはRであるための　イ　。

また条件Pの否定を(P-)、条件Rの否定を(R-)とする。

(3)「P-」は(R-)であるための　ウ　。
0:必要十分条件である
1:必要条件であるが、十分条件ではない
2:十分条件であるが、必要条件ではない
3:必要条件でも十分条件でもない

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【候補2】
a,b,cは有理数とし、次の条件p,q,rを考える。
p:a+b√2は無理数である。
q:ab√2は無理数である
r:(a-b√2)(b-c√2)(c-a√2)=0
s:(a-b√2)^2+(b-c√2)^2+(c-a√2)^2+3=0

(1)pはqであるための
①必要十分条件である　　
②必要条件であるが、十分条件でない　　
③十分条件であるが、必要条件でない　　
④必要条件でも十分条件でもない

(2)rであるための必要十分条件は
①a=b√2　かつ　　b=c√2　かつ　　c=a√2
②a=b√2　または　b=c√2　または　c=a√2
③a=b√2=0　かつ　b=c√2=0　かつ　c=a√2=0
④a=b√2=0　または　b=c√2=0　または　c=a√2=0

(3)rはsであるための
①必要十分条件である　　
②必要条件であるが、十分条件でない　　
③十分条件であるが、必要条件でない　　
④必要条件でも十分条件でもない

【解答】
(1)②　「a+b√2が無理数である」⇔b≠0　「ab√2が無理数である」⇔a≠0かつb≠0
(2)②　多項式の積が0である⇔多項式のうちいずれかが0
(3)②　sは恒偽命題であるから、s⇒rは真である。　　一方、rが真であるときr⇒sは偽である。

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次の[ス]～[タ]に当てはまるものを，下の０～３のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

nは自然数，xは正の実数とする。
p:xは5/2以上の有理数である
q:x=n/6と既約分数で表される
r:xは素数である
s:xは奇数である
また、条件p,q,r,sの否定をそれぞれO,Q,R,Sで表す。このとき
pはqであるための[ス]。
「rかつs」はpであるための[セ]。
「Qかつs」はrであるための[ソ]。
Rは「PまたはS」であるための[タ]。

０：必要十分条件である
１：必要条件であるが、十分条件でない
２：十分条件であるが、必要条件でない
３：必要条件でも十分条件でもない

[answers]
ス：3　セ：2　ソ：1　タ：2

☆コメント：０がない・・・
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