実数表現② - 小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

(3).実数の表現形式

（復習）10進実数を16進にする。

○整数部分⇒通常通り、10進を16進にする。
　　　与えられた数を16で割り、余りを求める。
　　　この操作を繰り返し、商が０になったら、下から余りを並べる。
○小数部分⇒16倍して整数部分の数を求める。
　　　さらに、その小数部分の数を16倍する。この操作を繰り返し、整数部分の数を上から並べる。

（例題）　2011.1027を16進実数にする。
（解答）　2011÷16＝125...11
　　　　　　125÷16＝7...13
　　　　　　　　7÷16＝0...7　　　　これより、整数部は、 $7DB$
　　0.1027×16＝1.6432
　　0.6432×16＝10.2912
　　0.2912×16＝4.6592
　　0.6592×16＝10.5472
　　0.5472×16＝8.7552
　　　　・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　これより、小数部分は、 $0.1A4A8\dots$ 　
　　以上から、 $7DB.1A4A8\dots$ 　となる。

実数表現について

現在、使用されている実数表現方式には、「ＩＢＭ方式」「ＩＥＥＥ（アイトリプルイー）方式」の２通りある。
　①.ＩＢＭ方式　・・・　　汎用コンピュータで従来使用されていた方式。
　②.ＩＥＥＥ５７４方式　・・・　国際標準で制定された方式。マイクロソフト、インテル、モトローラ、などのプロセッサで採用された。現在のパソコンで幅広く使用されている。

①ＩＢＭ方式の実数表現

単精度実数（４バイト）と倍精度実数（８バイト）は次のように構成される。（１６進１桁＝４ビット、である。）

	符号	指数部	仮数部	全体
単精度実数	１ビット	７ビット（Bias＝64）	２４ビット（１６進６桁）	４バイト（３２ビット＝１６進８桁）
倍精度実数	１ビット	７ビット（Bias＝64）	５６ビット（１６進１４桁）	８バイト（６４ビット＝１６進１６桁）

なお、仮数部ではみ出した部分は「７捨８入」を行う。
符号部分は、「０」なら０または正の数、「１」なら負の数を表す。

（例題１）　１２３４．５６をＩＢＭ単精度実数で表す。
（解答例）前回の問題より、Ｂ＝１６として正規化すると、
　 $1234.56=4D2.\dot{8}F5C\dot{2}=0.4D2\dot{8}F5C\dot{2}\times16^3$
となり、 $E=3,M=0.4D2\dot{8}F5C\dot{2}\$ がわかる。
符号は正数だから先頭の１ビットは「０」で、 $E=3+64=67=1000011$ （64はBias。64だけずらして指数部は表現する）
ゆえに、「 $434D28F6$ 」となる。（６桁目は「７捨８入」）している。

（例題２）　ＩＢＭ単精度実数「 $42C1000$ 」を10進数で表す。
（解答例） $42C1000$ より、先頭1バイトが $42=0100\ 0010$ なので、符号は「０」で正。
さらに、指数部は、 $1000010_{(2)}=66_{(16)}$ より、66-64＝2.
表現された数は、
　　 $+0.C1_{(16)}\times16^2 =C1_{(16)}=12\times16+1=193$
より、193である。

Bias（バイアス）について

指数部分は、2進7ビットだから、「 $0000000$ 」～「 $1111111$ 」まで表現できる。
これは、10進に直すと、「 $0$ 」～「 $127$ 」であり、このままだと、大きい数しか取り扱うことが出来ない。
これを回避するために、Bias分だけ、ずらせて表現する。
IBM形式の場合、Bias= $64$ だから、「 $0$ 」を「 $-64$ 」、「 $127$ 」を「 $63$ 」だとして、小さい数も表現できるように対応している。
Biasがあるために、小さい数も表現できるわけである。

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最終更新：2011年11月17日 08:57