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小西研究室@電脳工房ＭＳＣ
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７．実数表現

(3).実数の表現形式

（復習）10進実数を16進にする。
○整数部分⇒通常通り、10進を16進にする。
　　　与えられた数を16で割り、余りを求める。
　　　この操作を繰り返し、商が０になったら、下から余りを並べる。
○小数部分⇒16倍して整数部分の数を求める。
　　　さらに、その小数部分の数を16倍する。この操作を繰り返し、整数部分の数を上から並べる。
（例題）　2011.1027を16進実数にする。
（解答）　2011÷16＝125...11
　　　　　　125÷16＝7...13
　　　　　　　　7÷16＝0...7　　　　これより、整数部は、7DB
　　0.1027×16＝1.6432
　　0.6432×16＝10.2912
　　0.2912×16＝4.6592
　　0.6592×16＝10.5472
　　0.5472×16＝8.7552
　　　　・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　これより、小数部分は、0.1A4A8\dots　
　　以上から、7DB.1A4A8\dots　となる。
現在、使用されている実数表現方式には、「ＩＢＭ方式」「ＩＥＥＥ（アイトリプルイー）方式」の２通りある。
　①.ＩＢＭ方式　・・・　　汎用コンピュータで従来使用されていた方式。
　②.ＩＥＥＥ５７４方式　・・・　国際標準で制定された方式。マイクロソフト、インテル、モトローラ、などのプロセッサで採用された。現在のパソコンで幅広く使用されている。

①ＩＢＭ方式の実数表現

単精度実数（４バイト）と倍精度実数（８バイト）は次のように構成される。（１６進１桁＝４ビット、である。）
符号 指数部 仮数部 全体
単精度実数 １ビット ７ビット（Bias＝64） ２４ビット（１６進６桁） ４バイト（３２ビット＝１６進８桁）
倍精度実数 １ビット ７ビット（Bias＝64） ５６ビット（１６進１４桁） ８バイト（６４ビット＝１６進１６桁）
なお、仮数部ではみ出した部分は「７捨８入」を行う。
符号部分は、「０」なら０または正の数、「１」なら負の数を表す。
（例題１）　１２３４．５６をＩＢＭ単精度実数で表す。
（解答例）前回の問題より、Ｂ＝１６として正規化すると、
　1234.56=4D2.\dot{8}F5C\dot{2}=0.4D2\dot{8}F5C\dot{2}\times16^3
となり、E=3,M=0.4D2\dot{8}F5C\dot{2}\がわかる。
符号は正数だから先頭の１ビットは「０」で、E=3+64=67=1000011（64はBias。64だけずらして指数部は表現する）
ゆえに、「434D28F6」となる。（６桁目は「７捨８入」）している。
（例題２）　ＩＢＭ単精度実数「42C1000」を10進数で表す。
（解答例）42C1000より、先頭1バイトが42=0100\ 0010なので、符号は「０」で正。
さらに、指数部は、1000010_{(2)}=66_{(16)}より、66-64＝2.
表現された数は、
　　+0.C1_{(16)}\times16^2 =C1_{(16)}=12\times16+1=193
より、193である。

Bias（バイアス）について

指数部分は、2進7ビットだから、「0000000」～「1111111」まで表現できる。
これは、10進に直すと、「0」～「127」であり、このままだと、大きい数しか取り扱うことが出来ない。
これを回避するために、Bias分だけ、ずらせて表現する。
IBM形式の場合、Bias=64だから、「0」を「-64」、「127」を「63」だとして、小さい数も表現できるように対応している。
Biasがあるために、小さい数も表現できるわけである。 
（復習）10進数11.17をIBM単精度実数に直せ。
（解答） 整数部分は、11=B_{(16)}である。
　　0.17×16＝2.72
　　0.72×16＝11.52
　　0.52×16＝8.32
　　0.32×16＝5.12
　　0.12×16＝1.92
　　0.92×16＝14.72
　　　　・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　これより、小数部分は、0.2\dot{B}851\dot{E}となる。　
　　以上から、B.2\dot{B}851\dot{E}　となる。
ゆえに、B.2\dot{B}851\dot{E}=0.B2\dot{B}851\dot{E}\times16^1となり、
　指数は、E=1となるので、指数部は1+64=65で、2進数に直すと、=1000001となる。
　符号は正の数だから、先頭1ビットは0。ゆえに、先頭の8ビットは、01000001=41_{(16)}である。
　仮数部は16進6桁で、7桁目は「7捨8入」する。
　これより、B2B852となり、2つ合わせて「41B2B852」が答えである。

②IEEE754方式の実数表現

単精度実数（４バイト）と倍精度実数（８バイト）は次のように構成される。（16進１桁＝４ビット、である。）
符号 指数部 仮数部 全体
単精度実数 １ビット 8ビット（Bias＝127） 23ビット ４バイト（32ビット＝16進８桁）
倍精度実数 １ビット 11ビット（Bias＝1023） 52ビット ８バイト（64ビット＝16進16桁）
なお、仮数部ではみ出した部分は2進数で「0捨1入」を行う。
符号部分は、「０」なら０または正の数、「１」なら負の数を表す。

IEEE754方式の特徴

1.基数B=2
　　　表示形式は、\pm M\times2^E である。
2.隠しビット
3.仮数部ではみ出した部分は、2進数で「0捨1入」する。

隠しビット

　IEEE754は、基数が２なので、２進表示にして、「1.△△△」の形に直して（正規化）、「1.」の部分を省略して
仮数部を「△△△」で表す。これを「隠しビット」という。
　IEEE754では、仮数部は23ビットだが、隠しビットにより24ビットの精度を保つ。
(例)　10進数0.1=0.1\dot{9}_{(16)}である。
　0.1=0.1\dot{9}_{(16)}=0.0001\dot{1}00\dot{1}_{(2)}
　　　　　=1.\dot{1}00\dot{1}\times2^{-4}
となるので、E=-4, M=\dot{1}00\dot{1}　が得られる。
（例題）　１０進数11.17をIEEE754方式の単精度実数で表す。
上の問題より、11.17=B.2\dot{B}851\dot{E}であるので、
　　　=1011.0010\ \dot{1}011\ 1000\ 0101\ 0001\ 111\dot{0}
　　　=1.0110\ 010\dot{1}\ 0111\ 0000\ 1010\ 0011\ 11\dot{0} \times 2^3
であるので、
　　符号ビット＝0
　　指数部＝3+127=130=1000\ 0010_{(2)}
　　仮数部＝0110\ 0101\ 0111\ 0000\ 1010\ 0011 （先頭から24ビット）
　　　　　　＝0110\ 0101\ 0111\ 0000\ 1010\ 010 （24ビット目を０捨1入する）
であるので、まとめると、
　　0\ 1000\ 0010\ 0110\ 0101\ 0111\ 0000\ 1010\ 010=4132B852_{(16)}となる。

(4).表現可能な範囲

IBM方式とIEEE754形式を比較する。

IBM方式単精度の表現可能な数

（最大の正数）　B=16で、指数はE=63、仮数部はM=0.FFFFFFが最大であるから、
　　　0.FFFFFF_{(16)}\times16^{63}=(\frac{15}{16}+\frac{15}{16^2}+\frac{15}{16^3}+\frac{15}{16^4}+\frac{15}{16^5}+\frac{15}{16^6})\times16^{63}
　　　　　　=\frac{15}{16}(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{16^2}+\frac{1}{16^3}+\frac{1}{16^4}+\frac{1}{16^5})\times16^{63}
　　　　　　=\frac{15}{16}\frac{1-\frac{1}{16^6}}{1-\frac{1}{16}}\times16^{63}
　　　　　　=(1-\frac{1}{16^6})\times16^{63}\approx 16^{63}\approx 7.023701\times10^{75}
（最小の正数）　B=16で、指数はE=-64、仮数部はM=0.1が最小であるから、
　　　0.1_{(16)}\times16^{-64}=16^{-65}\approx 5.39761\times10^{-79}
となる。
  • IEEE754方式の場合、単精度と倍精度で、指数部のビット数が異なるので、表現できる最大数・最小数が精度によって異なる。

IEEE754方式単精度の表現可能な数

（最大の正数）　B=2で、指数はE=128、仮数部はM=1.11111111111111111111111(23桁)が最大であるから、
　　　1.11111111111111111111111_{(2)}\times2^{128}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{23}})\times2^{128}
　　　　　　=\frac{1-\frac{1}{2^{24}}}{1-\frac{1}{2}}\times2^{128}=(1-\frac{1}{2^{24}})\times2^{129}\approx 2^{129}\approx 6.80565\times10^{38}
（最小の正数）　B=2で、指数はE=-127、仮数部はM=1.0が最小であるから、
　　　1.0_{(2)}\times2^{-127}=2^{-127}\approx 5.87747\times10^{-39}
となる。
  • IEEE754単精度は、IBM単精度よりも表現できる範囲が小さいことが分かる。ところが、下記で述べるように、倍精度は驚くほど広い。これが、現在のPCでIEEE754が採用されている理由になっている。

IEEE754方式倍精度の表現可能な数

（最大の正数）　B=2で、指数はE=1024、仮数部はM=1.11111111111111\dots111111111(52桁)が最大であるから、
　　　1.1111111111111111\dots1111111_{(2)}\times2^{1024}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{52}})\times2^{1024}
　　　　　　=\frac{1-\frac{1}{2^{53}}}{1-\frac{1}{2}}\times2^{1024}=(1-\frac{1}{2^{53}})\times2^{1025}\approx 2^{1025}\approx 1.79769\times10^{308}
（最小の正数）　B=2で、指数はE=-1023、仮数部はM=1.0が最小であるから、
　　　1.0_{(2)}\times2^{-1023}=2^{-1023}\approx 2.22507\times10^{-308}
となる。
（注意）以上のように、どの方式にも表現できる最大数と最小数が存在する。
最大数を超えると「オーバーフロー（overflow）」になり、最小数を超えると「０」と判定される。０でない小さい数であっても、０として認識されることは、計算の限界があることになる。
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最終更新：2012年11月01日 09:32