実数表現とコンピュータの限界

第2回実数表現とコンピュータの限界

前回の復習

16進数を10進数にするには

３４５(16)を10進数にするには、
いちばん右を1の位、その左を16の位、次を16×16=256の位、として位取りする。
その後に、対応する係数と掛けて加える。すなわち、
３４５(16)＝3×256+4×16+5×1＝768+64+5＝837(10)

10進数を16進数にするには

１２３４(10)を16進数にするには、
　1234÷16＝77...2、77÷16＝4...13、4÷16＝0...4、より、４D２(16)を得る。

２.2進数と16進数

2進数は0と1で数を表現するものである。

2進数の位取りは、小さいほうから、１、２、４、８、16、32、64、...と2倍になる。
位取りに対応する係数を掛けて加えるので、
１０１１０１０１１１　であれば、
　512+0+128+64+0+16+0+4+2+1＝727　がわかる。
係数が０の位取りは加えず、1になっているところだけ加えれば、対応する10進数が得られる。

16進数は2進数で4ケタである。

この性質を使うと、2進数⇔16進数の変換がものすごく楽になる。次は対応表である。

10進数	16進数	2進数
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111
16	10	10000

2進数「1011010111」をまず16進数に直す。

これは、下から4ビットずつに区切り、対応表で16進数に変換する。

10 1101 0111 (2)⇒　２D７(16)

このあと、16進数を10進数にすると、2×256+13×16+7＝727　が得られる。
計算回数は少なく、計算ミスも少なくなることが期待される。
逆に10進数から2進数に直す場合も、一度16進数に直してから計算すると楽になる。

数当てゲーム

次の4枚のカードを作る。

1枚目・・・1、3、5、7、9、11、13、15
2枚目・・・2、3、6、7、10、11、14、15
3枚目・・・4、5、6、7、12、13、14、15
4枚目・・・8、9、10、11、12、13、14、15

[セリフ]　1～15までの数を１つ思い描いてください。
　その数を当てます。たとえば、1枚目と3枚目と4枚目にその数字があるものは「13」です。

《答え》
1枚目と3枚目と4枚目にある数は、それぞれのカードの最初の数を加えて、1+4+8＝13なのです。

上記のゲームは、まさしく2進数の本質を表している素晴らしいものです。

　このように感じてくれる方は、2進数の仕組みが理解できた方です。

（カードの作り方）
1枚目・・・右から1ビット目が1になっている数（奇数）
2枚目・・・右から2ビット目が1になっている数
3枚目・・・右から3ビット目が1になっている数
4枚目・・・右から4ビット目が1になっている数

としてカードを作ります。
たとえば、「13」は2進数に直すと「1101」なので、1枚目と3枚目と4枚目のカードに数があるのです。

実数の表現について

たとえば、10進数の「345.67」は、100×3+10×4+1×5+0.1×6+0.01×7　を表現しています。
これは、 $100\times 3+10\times 4+1\times 5+\frac{1}{10}\times 6+\frac{1}{100}\times 7$
なので、16進数の「345.67」は、
$16^2\times 3+16\times 4+1\times 5+\frac{1}{16}\times 6+\frac{1}{16^2}\times 7=256\times 3+16\times 4+5+0.0625\times6+0.003906\times 7=837.402342$
になります。

【例題】10進数「345.67」を16進数に直すには
（解答）

整数部分「345」

　通常通り、345÷16＝21...9、21÷16＝1...5、1÷16＝0...1、となるので、最後から余りを並べて「159」を得る。

実数部分「0.67」

　これは、どう考えればよいかというと、10進数なら10倍した数の整数部分に「小数第一位」の数が来ます。これを使います。
　すなわち、16進数にしたければ、16倍して整数部分に来る数を並べればよいのです。
　　すると、0.67×16＝10.72
　　　　　　0.72×16＝11.52
　　　　　　0.52×16＝8.32
　　　　　　0.32×16＝5.12
　　　　　　0.12×16＝1.92
　　　　　　0.92×16＝14.72
　　　　　　0.72×16＝11.52　⇒　この部分で上から3番目になるので、計算が循環することがわかる。
　これより、 $0.AB851EB851EB851E\dots=0.A\dot{B}851\dot{E}$ （循環する最初の数と最後の数に点（・）を打つきまりがあります）
がわかります。

0.1は正しく表現できない！

10進数の「0.1」を上の方法で16進数に直すと、
$0.1_{(10)}=0.199999999\dots=0.1\dot{9}$ となることが分かります。
これは、10進数の0.1を16進数で表すと、無限桁が必要になることを表しています。

コンピュータは電気信号のON（1）、OFF(0)だけで情報を表現するので、基本的に2進数しか扱えません。
10進数は2進数で表現されます。16進数1桁は2進数4桁ですから
$0.1_{(10)}=0.0001\dot{1}00\dot{1}$ 　となります。
これも無限桁です。パソコンで扱えるメモリは有限ですから、どこかの桁で切り落とされます。
このとき、表現誤差が生じてしまいます。

すなわち、コンピュータで10進数の「0.1」は正確に表現できないことになります。
つまり、「0.1を10回加えても、1.0にならない」のです！

これがコンピュータの弱点で、実はコンピュータは正確な計算は苦手なのです。

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今日も頑張りたいです -- 12122799 (2013-10-03 10:15:29)
iPhone5s等の最新の話題大好きです。 -- 12130774 (2013-10-03 10:38:21)
今日の授業の0.12×16の計算から違う気がします。 -- 12120452 (2013-10-03 11:30:49)
進数楽しいです -- 12132841 (2013-10-03 14:26:31)
進数頑張りたいです -- 12134160 (2013-10-06 02:25:45)
教授のiPhoneの話の流れがおもしろいです。 -- 12120333 (2013-10-06 06:24:51)
後期は計算が多くて大変ですが頑張ります -- 12120232 (2013-10-07 14:14:03)
iPhoneの話が興味津々でした。 -- 12131237 (2013-10-08 14:15:44)
2進数と16進数の関係は知らなかったので参考になりました -- 12122161 (2013-10-08 17:51:28)
iPhoneの話しが面白かったです -- １２１２２４９６ (2013-10-09 13:44:41)
進数理解するのは大変だけどできたときの楽しさがありますね -- 12132841 (2013-10-10 08:43:52)

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最終更新：2013年10月11日 19:54

小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

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