相関係数と決定係数

復習問題

下のデータは、県内のある病院で生まれた男子の新生児12人について、
出生時の身長x(cm)と体重y(kg)を測定した結果である。以下の問いに答えよ。

No.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
身長x	45.6	49.3	47.9	53.6	46.1	42.4	50.5	46.8	44.9	44.0	46.4	49.0
体重y	2.5	3.2	3.2	4.2	3.1	2.0	3.6	2.8	2.7	2.2	2.9	2.9

(1)身長xと体重yの散布図を描きなさい。

この分布状態からすると、強い正の相関がありそうですね。
（意味のわからない人は復習してね！点が直線に乗っているのが見えませんか？）

(2)平均値と標準偏差、共分散を求めよ。

この結果から、

身長xの平均

$\bar{x}=47.21$

体重yの平均

$\bar{y}=2.94$

xの分散

$V_x=\frac{1}{n}\sum x^2-\bar{x}^2=2237.22-47.21^2=8.4359$

xの標準偏差

$s_x=\sqrt{V_x}=\sqrt{8.4359}=2.90$

yの分散

$V_y=\frac{1}{n}\sum y^2-\bar{y}^2=8.98-2.94^2=0.3364$

yの標準偏差

$s_y=\sqrt{V_y}=\sqrt{0.3364}=0.58$

共分散

$C_{xy}=\frac{1}{n}\sum xy-\bar{x}\bar{y}=140.45-47.21 \times 2.94=1.6526$

(3)xとyの相関係数
$r_{xy}=C_{xy} \div (s_x s_y)=1.6526 \div (2.90 \times 0.58)=0.9825$
すなわち、高い相関があることが分かります。

(4)回帰直線を求め、身長が50cmの新生児の体重を予測する。
身長xから体重yを予測するので、xによるyの回帰直線 $y=ax+b$ を求める。
これは、
$a=C_{xy} \div V_x$
$b=\bar{y}-a \times \bar{x}$
で求めることができる。ゆえに、
$a=1.6526 \div 8.4359=0.3124$
$b=2.94-0.3124 \times 47.21=-11.81$
より、
$y=0.3124 x-11.81$
がわかります。これより、 $x=50$ として、
$y=0.3124 \times 50-11.81=3.81$ となり、予測体重は3.81kgです。

近似式の貢献度（ｐ.70　第5章.データから予測する）

テキストのｐ.73からｐ.74を読んでください。
決定係数（相関係数の２乗）は、線形単回帰（直線による近似）によって、データの何％の説明が付いたかを表すものになります。
ゆえに、相関係数の２乗の値が高いほど、良い近似ができている、すなわち、データ分布が直線に近い（すなわち、相関が高い）ことになるわけです。

上の練習問題の場合、0.9825の２乗ですから、0.9653で、なんと約97％も説明できている（寄与している）ことになります。
実際に上で求めた回帰直線を引いてみました。

かなり良い近似ができていますね。
決定係数を寄与率ともいうのは、これが理由です。

質問や感想があればどうぞ。

何でも良いので質問して下さい。 -- 小西 (2015-06-29 14:03:47)
とにかく計算問題ができるように、練習をしておいてください。 -- 小西 (2015-07-13 14:23:18)

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最終更新：2015年07月24日 00:46

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小西研究室@電脳工房ＭＳＣ