回帰直線の計算～確率・正規分布

復習問題

下のデータは、年収（千円）と書籍購入額（千円）の資料である。すでに、平均まで計算してある。以下の問に答えよ。

名前	年収（x）	書籍購入額（y）	x^2	xy	y^2
A	6,352	231	40,347,904	1,467,312	53,361
B	3,225	102	10,400,625	328,950	10,404
C	8,956	373	80,209,936	3,340,588	139,129
D	8,234	377	67,798,756	3,104,218	142,129
E	2,350	35	5,522,500	82,250	1,225
F	7,455	185	55,577,025	1,379,175	34,225
G	7,128	252	50,808,384	1,796,256	63,504
H	3,039	65	9,235,521	197,535	4,225
I	6,204	132	38,489,616	818,928	17,424
J	4,981	158	24,810,361	786,998	24,964
合計	57,924	1910	383,200,628	13,302,210	490,590
平均	5,792	191	38,320,063	1,330,221	49,059

(1)年収xと書籍購入額yの散布図を描きなさい。

この分布状態からすると、強い正の相関がありそうですね。（年収の多い人ほど、書籍購入額が多い）
（意味のわからない人は復習してね！点が直線に乗っているのが見えませんか？）

(2)平均値と標準偏差、共分散を求めよ。
問題の表の値から

年収xの平均

$\bar{x}=5792$

書籍購入額yの平均

$\bar{y}=191$

xの分散

$V_x=\frac{1}{n}\sum x^2-\bar{x}^2=38320063-5792^2=4772799$

xの標準偏差

$s_x=\sqrt{V_x}=\sqrt{4772799}=2184.7$

yの分散

$V_y=\frac{1}{n}\sum y^2-\bar{y}^2=49059-191^2=12578$

yの標準偏差

$s_y=\sqrt{V_y}=\sqrt{12578}=112.2$

共分散

$C_{xy}=\frac{1}{n}\sum xy-\bar{x}\bar{y}=1330221-5792 \times 191=223949$

(3)xとyの相関係数
$r_{xy}=C_{xy} \div (s_x s_y)=223949 \div (2184.7 \times 112.2)=0.9136$
すなわち、高い相関があることが分かります。

(4)回帰直線を求め、年収が500万円の書籍購入額を予測する。
年収xから書籍購入額yを予測するので、xによるyの回帰直線 $y=ax+b$ を求める。
これは、
$a=C_{xy} \div V_x$
$b=\bar{y}-a \times \bar{x}$
で求めることができる。ゆえに、
$a=223949 \div 4772799=0.04692$
$b=191-0.04692 \times 5792=-80.76$
より、
$y=0.04692 x-80.76$
がわかります。これより、 $x=5000$ （千円）として、
$y=0.04692 \times 5000-80.76=153.84$ となり、予測される書籍購入額は153.84（千円）です。

近似式の貢献度（ｐ.70　第5章.データから予測する）

テキストのｐ.73からｐ.74を読んでください。
決定係数（相関係数の２乗）は、線形単回帰（直線による近似）によって、データの何％の説明が付いたかを表すものになります。
ゆえに、相関係数の２乗の値が高いほど、良い近似ができている、すなわち、データ分布が直線に近い（すなわち、相関が高い）ことになるわけです。

上の練習問題の場合、0.9136の２乗ですから、0.8347で、約83.5％程度の説明ができている（寄与している）ことになります。
実際に上で求めた回帰直線を引いてみました。まず、計算表です。