７．実数の２進表現について
実数を表現するのに、浮動小数点表記を用いる。
たとえば、３．１４１５９という数があったとき、先頭に小数点が来るように、
という、表記ができる。
先頭に小数点が来るように位置をずらすことを、正規化（normalize）といい、この記法を浮動小数点（floating point）表記という。
これに対して、通常の実数の 表記を、固定小数点（fixed point）表記という。
浮動小数点（floating point）表記により、実数は唯一の記法で表現される。
浮動小数点表記のとき、上の０．３１４１５９の部分を仮数（mantissa）、１０を基数(base)、１を指数（expoment）と呼ぶ。
仮数部をＭ、基数をＢ、指数をＥとおくと、一般の正の数は、
と一意的に書ける。実数は、基数を決めておけば、仮数と指数で１通りの書き方しかない。
通常、できるだけ大きな数を少ない桁で表現するため、基数としては１６を用いる。
マイクロソフトのWindowsでは、B=2を採用している。
では、Ｂ＝１６としたとき、逆に実数を〔Ｍ、Ｅ〕の形にするにはどうすればよいだろうか。
これは、実数を１６進数表現することに他ならない。
実数の整数部分と小数部分で分けて考える。
整数部分については、１０進整数を１６進数に変換する要領で求めることができる。
小数部分はどうすればよいだろう。
１０進小数の場合で考えてみよう。
たとえば、０.４５６の小数第１位の数「４」はどのようにしたら得られるであろうか？
答えは極めて単純で、「１０倍して小数点以下を切り捨てる」である。
０. ４５６を１０倍して４.５６。小数点以下を切り捨てれば「４」となる。
では、小数第２位の「５」はどうだろう。
小数点以下で切り捨てられた「０.５６」を１０倍して小数点以下を切り捨てれば、「５」は得られる。
以上をまとめると、
実数を１６進数にする方法
① 実数を、整数部と小数以下部に分ける。
② 整数部は、前に述べた方法で１６進数にする。
③ 小数以下部は、以下のようにして変換する。
まず、小数以下部の数を１６倍する。このとき整数部に出た数が小数第１位の数である。
次に、また小数以下部を取り１６倍する。このとき整数部に出た数が小数第２位の数である。
④ 以下、この操作を繰り返す。
【例題２】いま、Ｂ＝１６とする。このとき、２３４．９０６２５を〔Ｍ、Ｅ〕で表現して答えよ。
（解答）まず、整数部分は、２３４÷１６＝１４．．．１０、 であるから、整数部分は「ＡＥ」となる。
小数部分は、０．９０６２５であり、この部分は上の手順に従って変換する。すなわち、
０．９０６２５×１６＝１４．５
０．５×１６＝８．０
である。ゆえに、小数部分は０．Ｅ８（16）となる。
以上をあわせて、２３４．９０６２５＝ＡＥ．Ｅ８＝０．ＡＥＥ８×１６２ となり、求める答えは
〔０．ＡＥＥ８、２〕となる。 ■
問題 Ｂ＝１６として、次の実数を〔Ｍ、Ｅ〕で表現して答えよ。
(１)．１２４．６５６２５ (２)．３１４．１６ (３)．０．１
仮数部の長さによって、
実数表現の精度は決まる。
通常、４バイト浮動小数点数で表記される実数を単精度実数、８バイト浮動小数点数で表記される実数を倍精度実数、さらに、その倍の１６バイト浮動小数点数で表記される実数を４倍精度実数、という。
単精度の４バイト実数は、１ビットの符号ビット、７ビットの指数部、３バイト（２４ビット）の仮数部からなる。
倍精度の８バイト実数では仮数部は７バイト、４倍精度の１６バイト実数では仮数部は１５バイトで表現される。
指数部はすべて１バイトである。
符号ビットは、「０」で０または正の数、「１」で負の数を表す。
指数部は、７ビット部分を整数に直し、「６４」を引く「。これにより、－６４～６３の指数を表す。
仮数部は、先頭ビットから （1/2）、（1/4） 、（1/8） 、…、の桁を表現する。
先頭のビットの前に、小数点があるようにするのである。
仮数部は、正規化を行ってから表現する。
１６進数１桁は４ビットで構成されるので、単精度実数の場合、仮数部は１６進数で６桁で表現できる。
倍精度実数の場合は、仮数部は１６進数１４桁で表現できる。
【例１】 １０進数５．１２５を４バイト実数の１６進表記にする。
まず、整数部は、５＝５（１６）。
小数以下は、０．１２５なので、
０．１２５×１６＝２．０ となる。ここで終わりで、
０．１２５＝５．２（１６）となる。
よって、５．２（１６）＝１０１．００１（２）となる。
ゆえに、仮数部は０．５２（１６）。指数部は１。
指数部は、６４を加えて６４＋１＝６５＝１０００００１（２）。
仮数部は、５２００００（１６）＝０１０１ ００１０ ００００ ００００ ００００ ００００。
符号は正なので、０。
以上から、５．１２５を４バイト実数に直すと、
０１０００００１ ０１０１００１０ ００００００００ ００００００００
となる。
これは、１６進数表記にすると、４１５２００００、となる。
前回の問題の、(1)１２４．６５６２５、(2)３１４．１６、(3)０．１、の４バイト実数としての１６進表記を求めてみよう。
これは、前回の問題の結果を利用すると、楽に解ける。
（１）．１２４．６５６２５
前回の結果から、１２４．６５６２５＝〔０．７ＣＡ８、２〕であるので、
仮数部は０．７ＣＡ８（１６）。指数部は２。
指数部は、６４を加えて６４＋２＝６６＝１００００１０（２）。
仮数部は、７ＣＡ８００（１６）＝０１１１ １１００ １０１０ １０００ ００００ ００００。
符号は正なので、０。
以上から、５．１２５を４バイト実数に直すと、
０１００ ００１０ ０１１１ １１００ １０１０ １０００ ００００ ００００
となる。
これは、１６進数表記にすると、４２７ＣＡ８００、となる。
（２）．３１４．１６
前回の結果から、３１４．１６＝〔０．１３Ａ２８Ｆ５Ｃ、３〕 （網掛け部分は循環する）であるので、
仮数部は０．１３Ａ２８Ｆ（１６）。指数部は３。
指数部は、６４を加えて６４＋３＝６７＝１００００１１（２）。
仮数部は、１３Ａ２８Ｆ（１６）＝０００１ ００１１ １０１０ ００１０ １０００ １１１１。
符号は正なので、０。
以上から、３１４．１６を４バイト実数に直すと、
０１００ ００１１ ０００１ ００１１ １０１０ ００１０ １０００ １１１１
となる。
これは、１６進数表記にすると、４３１３Ａ２８Ｆ、となる。
（３）．０．１
前回の結果から、０．１＝〔０．１９、３〕 （網掛け部分は循環する）であるので、
仮数部は０．１９９９９９（１６）。指数部は０。
指数部は、６４を加えて６４＋０＝６４＝１００００００（２）。
仮数部は、１９９９９９（１６）＝０００１ １００１ １００１ １００１ １００１ １００１。
符号は正なので、０。
以上から、０．１を４バイト実数に直すと、
０１００ ００００ ０００１ １００１ １００１ １００１ １００１ １００１
となる。
これは、１６進数表記にすると、４０１９９９９、となる。
８．浮動小数点数による数値計算とその問題点
前回までに述べたように、コンピュータや電卓で計算される数値には、必ずといっていいほど誤差が含まれる。
このほかにも、コンピュータで数値計算を行う場合に４つの問題点がある。
①丸め誤差の発生
４バイト実数の場合、符号ビット１ビット、指数部７ビット、仮数部２４ビット（１６進数で６桁）の表示になるため、すべての実数がきちんとは表現されない。
たとえば、２３４．９０６２５であれば、「４２ＡＥＥ８００」となり、きちんと表現できるが、０．１などになると、１６進表示にして、０．１９９９９９９・・・となり、２桁目以降は９が無限に連続する。
この場合、仮数部６桁しか表現できず、７桁目以降は切り捨てられてしまう。
結果的に、
０．１９９９９９(16)＝０．０９９９９９６４２３７２・・・
というように正確に、０．１が表現できていないのである。
このように、１０進数の数値を１６進変換して、有限桁で打ち切ってしまうことから生じる誤差を丸め誤差（round off error）という。
一般に計算機では、
をみたす最小の正の数
をマシン・イプシロン（machine epsilon）と呼んでいる。
この数は、ε＝1.0として、１+εの値を計算し、次にε/2の値を改めてεとして１+εの値を計算し、次にε/2の値を改めてεとして１+εの値を計算し、・・・、という操作を繰り返して、その値が１．０のなる直前がマシン・イプシロンの値になる。
エクセルの場合、１５桁を超えた分はすべて０に変換されてしまうので、結果的に、
がわかる。この数よりも小さい数は、すべて無視されてしまうことがわかる。
このため、エクセルでは15ケタを超える16桁以降はすべて「０」とみなして数値を扱っている。
②オーバーフローとアンダーフロー
表現できる範囲を超えた演算をした場合に起こる現象である。
大きい場合をオーバーフロー（over flow）、小さい場合をアンダーフロー（under flow）という。
たとえば、エクセルの場合、
であるが、計算不能の表示が出る。
であるが、０になってしまう。
③桁落ち
符号が同じで大きさがほぼ等しい浮動小数点数の減算により生ずる誤差を、桁落ちという。
これは有効数字の桁数の減少を意味する。
たとえば、有効数字の桁数が6桁の2数 123.456と123.445に対して、
123.456-123.445=0.011
となり、有効数字の桁数は「2ケタ」に減少している。
2次方程式の解の公式で、分子が異符号になる解に対しては、近い数同士の引き算になるので、「分子の有理化」をして、計算精度を保証する。同符号の解に対しては、この現象は生じない。
④情報落ち
著しく大きさの異なる浮動小数点数で、加算のときに小さいほうの数の一部または全部の桁が無視されてしまうことから生じる誤差を、情報落ちという。
エクセルでは、１５桁ずれると、小さいほうが無視され、Ａ＋Ｂ＝Ａ となってしまう。
以上のことから、「コンピュータが計算した結果は正しい」という伝説は、誤りであることがわかる。
正しい結果が得られるように、計算順序を変えるなどしないと、正しい結果を得ることは難しい。
最終更新：2015年11月16日 18:13
