勉強日記-tryo
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基礎勉強

スカラー，ベクトルと行列

スカラー 

一つの数値(変数)で表されるもの，一次元の数。
方向を持たない量のことをいう。大きさと方向を持つベクトルと対比する概念である。

例：身長は178.3ｃｍ，温度が20.4℃，178.3と20.4などはスカラーである。

ベクトル 

ベクトルはスカラーの集合である。ベクトルを構成するスカラーを｢ベクトルの要素｣という。

例：体格を考えるとき，「身長，座高，体重」などをまとめて取り扱う。

p次元列ベクトル 

{\bf x}=\left( x_1,\cdots , x_i, \cdots , x_p \right)^t　（注：行ベクトル{\bf x}=\left( x_1,\cdots , x_i, \cdots , x_p \right)の転置，{\bf x}=\left( x_1,\cdots , x_i, \cdots , x_p \right)^T,{\bf x}=\left( x_1,\cdots , x_i, \cdots , x_p \right)'の形も同様）

行列　⇒統計学の多変量データに関連する 

マトリックスごと！！ベクトルを並べて組み立てたもの！！！･･･だと思う＾０＾

p \times q 行列　（注： p行 q列の行列♪）

{\bf A} =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1q} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & \cdots & a_{pq} \\ \end{array} \right)　注：このときに， {\bf A}^t =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{p1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{p2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1q} & a_{2q} & \cdots & a_{pq} \\ \end{array} \right) 

a_{ij} は，行列 {\bf A} の (i,j) 成分または (i,j) 要素と呼ぶ。

行列転置の性質
（１） ({\bf A}^t)^t ={\bf A}
（２） (c{\bf A}+d{\bf B})^t =c{\bf A}^t +d{\bf B}^t 
（３） tr({\bf A}^t)=tr({\bf A})　　　（注： tr({\bf A}) は正方行列 {\bf A} の対角成分の和である）
（４） ({\bf AB})^t= {\bf B}^t {\bf A}^t　　
（５） ({\bf A}^t)^{-1} = ({\bf A}^{-1})^t　　（注： {\bf A}^{-1} は {\bf A} の逆行列である）
（６） |{\bf A}^t|=|{\bf A}|　　　（注： |{\bf A}| は {\bf A} の行列式である）

p 次正方行列{\bf A} に対して，その (i,i) 成分（対角成分と呼ぶ）の和を行列{\bf A} のトレースと呼び，tr({\bf A}) と表す。

{\bf A} =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & \cdots & a_{pp} \\ \end{array} \right) \Rightarrow tr({\bf A})= a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{pp}

相関係数，分散共分散行列と相関係数行列

相関係数 

２つ変数のn組のデータ (x_i,y_i) (i=1,2,\cdots ,n) に対して，
{\bf x}=\left( \begin{array} x_1 - \bar{x} \\ x_2 - \bar{x} \\  \vdots \\ x_n - \bar{x} \end{array} \right) \ \ \ \ \ \  ,\ \ \ \ \ \  {\bf y}=\left( \begin{array} y_1 - \bar{y} \\ y_2 - \bar{y} \\  \vdots \\ y_n - \bar{y} \end{array} \right)  
と定義する。変数x の平方和S_{xx} ，変数y の平方和S_{yy} ，x と y の偏差積和S_{xy}は
　　S_{xx}=\sum_{k=1}^{n} {(x_k-\bar{x})}^2 = {\bf x}^t {\bf x} = {||{\bf x}||}^2 
　　S_{yy}=\sum_{k=1}^{n} {(y_k-\bar{y})}^2 = {\bf y}^t {\bf y} = {||{\bf y}||}^2 
　　S_{xy}=\sum_{k=1}^{n} {(x_k-\bar{x})}{(y_k-\bar{y})} = {\bf x}^t {\bf y} = \left( {\bf x},{\bf y} \right) 
となる。したがって，相関係数r_{xy}は次のようになる。
　　r_{xy}=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}} = \frac{{\bf x}^T {\bf y}}{\sqrt{{\bf x}^T {\bf x}\cdot {\bf y}^T {\bf y}}} = \frac{({\bf x},{\bf y})}{||{\bf x}|| ||{\bf y}||}= \cos \theta 
.
\theta  は二つのベクトル{\bf x} と {\bf y} のなす角である。ここでは，
 {\bf x}=c{\bf y}\left\{ \begin{array}{l}  c > 0 & (\theta = 0^{\circ }\Leftrightarrow r_{xy}=1) \\ c < 0 & \ \ \ (\theta = 180^{\circ }\Leftrightarrow r_{xy}= -1) \end{array} \right.
r_{xy}=0 \Leftrightarrow  二つのベクトルが直交する。

分散共分散行列












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最終更新：2007年08月10日 12:52