場合の数と勝率 - 私的わかめて戦術大全

作戦の幅が限られる時、そうでない時で述べた戦術の客観的な評価について議論する際に、
必要となる話だと思ったのでここに書いておきます。

数Aの場合の数を勝率の計算に使う際の方法を書いておきます。もう全然覚えてないです＾ｑ＾

例えば人外2グレー5吊り3という状況は、赤玉2つ・白玉3つ、合計5つから3つ取り出した時の組み合わせと同じように考えられます。
共①共②/村①村②村③/狼①狼②の村で、狼は共有を続けて噛むと考えます。

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(1)吊り3の場合
①まずは吊られる位置のパターンの数を考えます。以下の10通りです。
　グレーはABCDEだとして、○が吊られる人、●が吊られない人です。○○○●●ならABCが吊られます。

左端が●のケース：●●○○○/●○●○○/●○○●○/●○○○●
左２が●のケース：○●●○○/○●○●○/○●○○●
左３が●のケース：○○●●○/○○●○●
左４が●のケース：○○○●●

②●の中に村人が２人入るパターンの数を考えます。
村①村②/村①村③/村②村③の３通りとなります。

期待される村勝率は3/10であると分かります。

(2)吊り4の場合
①吊られる位置のパターンの数：5
●○○○○/○●○○○/○○●○○/○○○●○/○○○○●

②●の中に村人が入るパターンの数:3
村人①/村人②/村人③の3通り

期待される村勝率は3/5であると分かります。

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以上を手っ取り早く計算で求める方法があります。

①吊らない人①がグレーの中から選ばれる場合を考えます。5人いるなら、吊らない人①の中身は5通りです。
②次に、残った人から吊らない人②が選ばれる場合を考えます。4人になったので、吊らない人②の中身は4通りです。
③ゆえに、吊らない人①と吊らない人②の組み合わせは5×4=20通りあります。

④ただ、吊らない人①と吊らない人②に差をつける必要はありませんので、全部まとめてしまいます。
　20通りの中には、A-Bという組み合わせとB-Aという組み合わせの両方があるので、2で割ります。
※吊らない人が③までいた場合は、A-B-C/A-C-B/B-A-C/B-C-A/C-A-B/C-B-Aの6通り、3×2で割る必要があります。

⑤①と同様に、村人3人から吊られない村人1人目を選びます。3人いるので3通りです。
⑥②と同様に、吊られない村人2人目を2人から選ぶので2通りです。
⑦かけ算して6通りですが、④と同様に村人1-村人2/村人2-村人1という組み合わせがあるので2で割ります。

⑧⑦を④で割って3/10が答えになります。

①-④と⑤-⑦は同じ方法を使っています。

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数式で表すと、
グレー5人から、の5人の部分をx　吊り3で、の3の部分をyとして

xCy

と表します。
今回の計算を数式で表すと3C2/5C3になります。

例えばグレー8、狼3吊り5のケースで村が勝つ可能性は
5C3/8C3(グレー8から吊れないグレー3を選ぶ、吊れないグレー3が全て村人の場合を考える)
→(5*4*3)/(3*2*1) を　(8*7*6)/(3*2*1) で割った値、18%くらいになります。

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もう一つ、順番を気にする場合は④や⑦の割り算をなくします。
例えば人外を狐⇒狼で吊らないといけない場合などは5×4の20通りから考えます。この時

xPy

と表します。

20通りの中は狐⇒狼+村にならないといけないです。
この時3×2の6通りの中から、狐が狼より先に来るケースのみを探します。
人外・人外・村の時の村の位置は3通り、人外の中での狐の位置は2通りなので、
狐が狼より前に来る場合は2-1の1通りとなります。
よって答えは3/20となり、これを数式で表すと(3P1*(2-1)P(2-1))/5P3となります。

例えばグレー8、狼2狐1吊り5のケースで村が勝つ可能性は
(5P2*(3-1)P(3-1))/8P3 　(5*4)*(2*1)/(8*7*6)　の約12%になります。

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違ったらごめんね！