正規化群と中心化群

定義

群Gの部分群Hにつき，以下により正規化群N_G(H)と中心化群C_G(S)が定義される。

N_G(H) = {g∈G | gH=Hg}

C_G(H) = {g∈G | gx=xg (∀x∈H)}

N_G(H)とC_G(H)はGの部分群であるが，一般に正規ではない。 N_G(H)はHを正規部分群として含む。 C_G(H)は中心にHの中心を含む。

関係

C_G(H)はN_G(H)の正規部分群であり，N_G(H) / C_G(H)はHの自己同型群に同型である。

記号の濫用

HがGの部分群であり，NがHの正規部分群であるとき，C_G(H/N)={x∈G | [x,H}⊆N}とすることがある。

群GがXに作用しているとき，

C_G(X) = {g∈G | x^g=x (∀x∈X)} (これはGの正規部分群になる)

C_X(G) = {x∈X | x^g=x (∀g∈G)} (これはXのG不変部分群になる)