位数60単純群の一意性

位数60の単純群は交替群A₅に同型である。

証明1

一般に，有限集合の元の置換は対称群で表される。 群Gがd個の元の集合に作用していればGからS_dへの準同型写像φがある。φの核はGの正規部分群になるから，Gが単純群であるためにはφが単射でなければならない。

Gを位数60の単純群とし，A₅に同型ではないと仮定する。 Gが4個以下の元の集合に自明でなく作用すればGからGより小さい群への単射が存在することになる。 Gが5個の元の集合に作用すればGからS₅への写像が存在し，その像がA₅に一致する。 従い，Gの元や部分群は必ず6個以上の共役を持たなければならない。また，Gの部分群の指数は6以上，位数は12以下でなければならない。

Gは10個のシロー3部分群を持ち，6個のシロー5部分群を持つ。 20個の元が位数3であり，24個の元が位数5である。 シロー部分群は互いに共役であるから，Gが位数6の元を持てば20個の元が位数6になり，Gの元の総数を超える。位数10についても同様である。 A₅に同型ではないという仮定により，Gは15個のシロー2部分群を持つ。 シロー2部分群が巡回群であれば位数4の元が30個になり，Gの元の総数を超える。従い，Gは位数4の元を持たず，残る15個の元は位数2である。

位数2の元が15個に限られるため，15個のシロー2群の内には自明でなく交わる対がある。その交わりの元aは少なくとも6個の元と可換であるから正規化群N=N_G(a)の位数は6以上である。位数2の部分群を正規とする位数6の群は巡回群に限られるが，Gが位数6の元を持たないから|N|≠6である。同様にして|N|≠10である。従い，|N|=12であり，Nによる5個の剰余類の集合にGが自然に作用してS₅への準同型写像を与える。

なお，現実はシロー2部分群が5個であり，位数2の部分群を正規とする位数12の部分群は存在しない。

証明2

Gを位数60の単純群とし，A₅に同型ではないと仮定する。 証明1の前半に示したように，Gの元は位数5が24個，位数3が20個，位数2が15個である。 bを位数5の元とする。bが生成する巡回群Bの正規化群N_G(B)の位数は10であるが，位数10の元は存在しないから，N_G(B)は二面体群D₁₀に同型である。15個の位数2の元の内の5個はN_G(B)に含まれる。Aを残る10個の位数2の元の集合とし，abの位数3となるa∈Aが存在することを示す。

x,y∈Aとする。 (xb)²=1はb^x=xbx=b²となり，xがN_G(B)に含まれないかぎり無理である。 (xb)²=ybはb^x=xbx=yとなるが，bとyの位数が異なるから無理である。 (xb)³=ybはxb=(yb)²となり，これも無理である。 (xb)⁴=ybであればxbx=b⁻¹x⁻¹yx⁻¹b⁻¹=b²xyxb²であるから，z=y^xb=b²xyxbとして(zb)³=1である。 従い，abが位数3となるa∈Aが存在しなければ40個の位数5の元が存在することになる。

aとbは位数12の群Hを生成する。実際，以下12個の元が群を成す。

1, a, b, b², ab=b²ab²a, b²a=abab, ab²=baba, ba=ab²ab², aba=b²ab², ab²a=bab, abab²=b²ab=bab²a, ab²ab=bab²=b²aba

GがHによる5個の剰余類の集合に作用してS₅への準同型写像を与える。

なお，Gのシロー2部分群が15個であるという件はGがA₅に同型ではないという誤った仮定に基づく誤った結果であるが，Gの位数2の元が15個であるというのは事実であり，Gは実際にHを含む。HはA₄に同型であり，b²abとbab²がHの位数4の正規部分群を生成する。