Statistics

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Statistics - (2024/04/11 (木) 23:26:59) のソース

*統計入門
**１次元データ
***代表値 averages
　分布のしかたを中心的な値で示したもの。平均、中央値、最頻値

''平均'' mean （算術平均　arithmetic mean）
　観測値　$$x_1,x_2,\cdots,x_n\,$$ の和をデータ数 $$\,n\,$$ で割ったもの
#math(120){{{\overline x \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i}}}
$$\overline x \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i}$$

''メディアン''、''中央値''　median
　観測値を大きさの順に並べ替えたときの中央の値
　データ数が偶数の時の取扱い

''モード''、''最頻値''　mode
　分布の峰に対応する値

***散らばりの尺度
''レンジ''、''範囲'' range
　最大値と最小値の幅
　$$R \equiv \text{max}\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)-\text{min}\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$

''平均偏差'' mean deviation
　偏差deviation($$|x_i - \overline x|$$) の平均
　$$d \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n |x_i - \bar x|$$

''分散'' variance
　偏差を絶対値ではなく、２乗した上での平均
#math(120){{s^2_x \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n x^2_i - \overline x^2}}

''標準偏差'' standard deviation
　分散の平方根（dimensionを同じくする）
#math(120){{s_x \equiv \sqrt {s_x^2}}

''変動係数'' coefficient of variation
　分布の中心が著しく異なる場合など、平均を考慮した上での比較（無名数）（平均が大きいと分散が大きい場合など）
　$$C.V. \equiv \frac {s_x}{\overline x}$$

分布の形状

歪度　skewness 分布の非対称性を示す。値が正の時は、右すそが伸びている。
#math(120){{\alpha_3 \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n\left(\frac {x_i - \overline x}{s_x}\right)^3}}

尖度 kurtosis 分布の尖り具合を示す。
#math(120){{\alpha_4 \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n\left(\frac {x_i - \overline x}{s_x}\right)^4}}

中央値 median
-値が点の場合で有効ケース数が偶数（ $$2n$$ ）の時には２方法がある。

ジニ係数 Gini Coefficient　不平等度の指標　（ただし、$$\mu \equiv \overline x$$　）
#math(120){{G \equiv \frac {1}{2 \mu n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j|}}

**２次元データ
''相関関係''　２変数間の関係。特に直線関係を指す場合が多い。

''相関係数'' correlation coefficent
　通常、ピアソンの積率相関係数product-moment correlation coefficient を指す。

#math(120){{{ r_{xy} \equiv \frac {\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/n}{\sqrt {\sum (x_i - \bar x)^2/n} \sqrt {\sum (y_i - \bar y)^2/n}} }}} 

{= \frac {\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt {\sum (x_i - \bar x)^2}\sqrt{\sum(y_i - \bar y)^2}} }}}
　ここで、分母は変数$$x,y$$それぞれの標準偏差である。分子は$$x$$ の偏差$$x_i-\bar x$$ と$$y$$ の偏差$$y_i -\bar y$$ を同時に考慮した場合の平均で、''共分散'' covariance という。

''回帰直線''、''回帰方程式''
　$$x$$ を独立変数、$$y$$ を従属変数としたとき、
　$$y=bx+a$$ 
という直線関係が想定されるとする。
この場合、$$\sum \{y_i - (bx_i + a)\}^2$$ を最小とする、a,bを求めると、
$$\qquad b = \frac {\sum x_i y_i -n\bar x \bar y}{\sum x_i^2 -n\bar x^2}$$,
$$\qquad a=\bar y - b \bar x$$

''決定係数'' coefficent of determination
　相関係数$$r$$ は、回帰直線による当てはまりの尺度でもあり、$$r^2$$ を決定係数という。$$r=1$$ のとき、正確に当てはまる。 


参照サイト
**&blanklink(ヘルプ:数式の書き方 - Meta){http://meta.wikimedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%97:%E6%95%B0%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%9B%B8%E3%81%8D%E6%96%B9}
*$$$$を使わない数式の入れ方(表{自分流})
|COLOR(red):名称|COLOR(red):$$$$を使う数式|COLOR(red):$$$$を使わない数式|
|ルート|$$\sqrt{a}$$|&bold(){:(√a):}|
|ルート|$$\sqrt[y]{x}$$|&bold(){:(y√x):}|
|積分|$$\int_{z}^{y} x\,dx$$|&bold(){:∫(x,y,z)dx:}|
http://www42.atwiki.jp/plqah/pages/77.html
*最終更新時間
&update(j);