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高等学校の数学
数学Ⅰ
１．方程式と不等式
1-1 整式
キーワーﾄﾞ
単項式 monomial 多項式 polynomial
次数 degree
展開
因数分解 factoring
因数分解
$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\dots+x^2+x+1)\qquad \cdots (*)$$
これから、
$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \qquad \cdots (**)$$
$$S=1+x+x^2+\dots+x^{n-2}+x^{n-1}\qquad (1)$$とおくと、
$$xS=x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1}+x^n \qquad (2)$$
$$(1)-(2)$$ : $$(1-x)S=1-x^n$$
以上より(*)が証明された。
また、
$$x=\frac{a}{b}$$
とおいて、(*)に代入して、$$(x-1)$$に $$b$$ をかけ、次のかっこに$$b^{n-1}$$をかけると、(**)が証明される。
展開公式
$$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n$$
1-2 実数
自然数 natural numbers
整数 integers
有理数 rational numbers
無理数 irrational numbers
絶対値 absolute value of a number
$$|x|$$は原点と$$x$$までの距離を表す。
$$|x-a|$$は点$$x$$と点$$a$$との距離。
1-3 不等式
1-4 ２次不等式
第２章 ２次関数
2-1 関数とグラフ
２次関数 $$y-q=a(x-p)^2$$ のグラフは、
$$y=ax^2$$ のグラフを
$$x$$軸方向に$$p$$、$$y$$軸方向に$$q$$だけ
平行移動した放物線。
平行移動後のグラフ上の点を$$(x',y')$$として、元に戻す平行移動を考える。
$$(x',y')\quad \rightarrow \quad (x'-p,y'-q)$$。つまり、逆向きの平行移動後の点$$(x'-p,y'-q)$$が
元のグラフの形$$y=ax^2$$となるのだから、
$$y'-q=a(x'-p)^2$$
一般に、関数$$y=f(x)$$のグラフを
$$x$$軸方向に$$p$$、$$y$$軸方向に$$q$$だけ
平行移動したグラフは
$$y-q=f(x-p)$$
である。
２次関数の決定
$$y=ax^2+bx+c$$だから、３つの条件があれば、ひとつに定まる。
例えば、
グラフ上の３点
軸と２点
ただし、頂点の座標は、２つの情報に相当するので、あとひとつでいい。
2-2 ２次関数の最大最小
2-3 ２次関数と２次方程式
2-4 ２次関数と２次不等式
行列
回転行列
$$ \left ( \begin{array}{ccc} \cos \theta -\sin \theta \\ \sin \theta \cos \theta \end{array} \right ) $$
高等学校の数学
数学Ⅰ
１．方程式と不等式
1-1 整式
キーワーﾄﾞ
単項式 monomial 多項式 polynomial
次数 degree
展開
因数分解 factoring
因数分解
$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\dots+x^2+x+1)\qquad \cdots (*)$$
これから、
$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \qquad \cdots (**)$$
$$S=1+x+x^2+\dots+x^{n-2}+x^{n-1}\qquad (1)$$とおくと、
$$xS=x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1}+x^n \qquad (2)$$
$$(1)-(2)$$ : $$(1-x)S=1-x^n$$
以上より(*)が証明された。
また、
$$x=\frac{a}{b}$$
とおいて、(*)に代入して、$$(x-1)$$に $$b$$ をかけ、次のかっこに$$b^{n-1}$$をかけると、(**)が証明される。
展開公式
$$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n$$
1-2 実数
自然数 natural numbers
整数 integers
有理数 rational numbers
無理数 irrational numbers
絶対値 absolute value of a number
$$|x|$$は原点と$$x$$までの距離を表す。
$$|x-a|$$は点$$x$$と点$$a$$との距離。
1-3 不等式
1-4 ２次不等式
第２章 ２次関数
2-1 関数とグラフ
２次関数 $$y-q=a(x-p)^2$$ のグラフは、
$$y=ax^2$$ のグラフを
$$x$$軸方向に$$p$$、$$y$$軸方向に$$q$$だけ
平行移動した放物線。
平行移動後のグラフ上の点を$$(x',y')$$として、元に戻す平行移動を考える。
$$(x',y')\quad \rightarrow \quad (x'-p,y'-q)$$。つまり、逆向きの平行移動後の点$$(x'-p,y'-q)$$が
元のグラフの形$$y=ax^2$$となるのだから、
$$y'-q=a(x'-p)^2$$
一般に、関数$$y=f(x)$$のグラフを
$$x$$軸方向に$$p$$、$$y$$軸方向に$$q$$だけ
平行移動したグラフは
$$y-q=f(x-p)$$
である。
２次関数の決定
$$y=ax^2+bx+c$$だから、３つの条件があれば、ひとつに定まる。
例えば、
グラフ上の３点
軸と２点
ただし、頂点の座標は、２つの情報に相当するので、あとひとつでいい。
2-2 ２次関数の最大最小
2-3 ２次関数と２次方程式
2-4 ２次関数と２次不等式
行列
回転行列
$$ \left ( \begin{array}{ccc} \cos \theta -\sin \theta \\ \sin \theta \cos \theta \end{array} \right ) $$
覚える必要はない。単位行列 $$ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) $$と$$ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) $$をそれぞれ、$$\theta$$だけ回転させて、それぞれのx座標、y座標を考えるとよい。
