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微分順序の交換

解析 > 解析ノート

$f_{{}_{xx}}=\frac{\partial}{\partial x}\(\frac{\partial f}{\partial x}\)=\frac{\partial^{{}_2}f}{\partial x^{{}_2}}$

$f_{{}_{yx}}=\frac{\partial}{\partial x}\(\frac{\partial f}{\partial y}\)=\frac{\partial^{{}_2}f}{\partial x\partial y}$ ，

$f_{{}_{xy}}=f_{{}_{yx}}$

なる関係が成り立つ場合を調べる．

　或る変域内で $f_{{}_{xy}}$ および $f_{{}_{yx}}$ が共に $(x,\ y)$ の連続な関数であるとする．　いまこの変域内に $(x,\ y)$ ， $(x+h,\ y)$ ， $(x,\ y+k)$ ， $(x+h,\ y+k)$ という四組の値をとり，かつ

$\varphi(x)=f(x,\ y+k)-f(x,\ y)$ ，

$F=\varphi(x+h)-\varphi(x)$ ，

とおけば，平均値の定理に従って，

$F=h\varphi'(x+\theta h)$ ，　　 $(0<\theta<1)$ ．

しかるに

$\varphi'(x)=f_{{}_x}(x,\ y+k)-f_{{}_x}(x,\ y)$

であるから

$F=h\{f_{{}_x}(x+\theta h,\ y+k)-f_{{}_x}(x+\theta h,\ y)\}$ ．

再び平均値の定理を適用して

$F=hkf_{{}_{xy}}(x+\theta h,\ y+\theta'k)$ ，　　 $(0<\theta'<1)$ ．

また初めから $x$ および $y$ の順序を逆にして，

$\psi(y)=f(x+h,\ y)-f(x,\ y)$

とおけば

$F=\psi(y+k)-\psi(y)$ ．

$F=hkf_{{}_{yx}}(x+\theta_{{}_1}h,\ y+{\theta_{{}_1}}'k)$ ，　　　　 $(0\gt\theta_{{}_1}\gt 1,\ 0\gt{\theta_{{}_1}}'\gt1)$ ．

$h$ および $k$ の値が漸次減少して共に $0$ に収束したときの極限を考えれば， $f_{{}_{xy}}$ および $f_{{}_{yx}}$ の連続性により

$f_{{}_{xy}}(x,\ y)=f_{{}_{yx}}(x,\ y)$ ．

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最終更新：2012年04月29日 10:02