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Hamilton の原理から Lagrange 方程式を導く

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変分法の基本問題は f が多くの独立変数 y_{{}^i} とその導関数 \dot{y}_{{}^i} の関数である場合に容易に一般化される． このとき，積分 J の変分

\delta J=\delta{\int}_{{}^1}^{{}_2}f\(y_{{}^1}(x),\ y_{{}^2}(x),\ \cdots\ ;\ \dot{y}_{{}^1}(x),\ \dot{y}_{{}^2}(x),\ \cdots\ ;\ x)\mbox{d}x

は J を曲線群 y_{{}^i}(x,\ \alpha) を識別するパラメータ \alpha の関数と見なすことで得られる． よって \alpha を導入し

y_{{}^1}(x,\ \alpha)=y_{{}^1}(x,\ 0)+\alpha\eta_{{}^1}(x)\ ,

y_{{}^2}(x,\ \alpha)=y_{{}^2}(x,\ 0)+\alpha\eta_{{}^2}(x)\ ,

　　　　\vdots　　　　　　　　\vdots

とおく． ここで，y_{{}^1}(x,\ 0)，y_{{}^2}(x,\ 0) などは求めるべき極値問題の解であり，\eta_{{}^1}，\eta_{{}^2} などは独立な x の関数で，両端で 0 となり，２階導関数までは連続であるが，それ以外はまったく任意であるとする．
J の変分は \alpha の変化量 \mbox{d}\alpha を用いて

\frac{\partial J}{\partial\alpha}\mbox{d}\alpha={\int}_{{}^1}^{{}_2}\sum_{{}_i}\(\frac{\partial f}{\partial y_{{}^i}}\frac{\partia y_{{}^i}}{\partial\alpha}\mbox{d}\alpha+\frac{\partial f}{\partial\dot{y}_{{}^i}}\frac{\partial\dot{y}_{{}^i}}{\partial\alpha}\mbox{d}\alpha\)\mbox{d}x\ .

と表される． ２番目の和に含まれた積分については部分積分により
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最終更新：2012年07月01日 21:51