「1章 数/定理・定義・命題の一覧」の編集履歴(バックアップ)一覧に戻る
定義 1.1
実数Rを
- 四則が定められ (省略気になる人は先生に質問してほしい)
- 順序が定まり (公理 1.4.1)
- 連続性の公理を満たし (公理 1.4)
- アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2)
ような集合と定める。
公理 1.2 (アルキメデスの原理)
任意の正の実数 に対し、自然数が存在して
となる。
公理 1.4.1 (不等式に関する公理)
+ ...
定義 1.4.2 (絶対値の定義)
省略。
定義 1.3 (収束)
数列anが実数αに収束するとは、
nを限りなく大きくしたときに |an-α| が限りなく零に近づくことと定める。
anがαに収束することを、と書く。
言い換えると、anがαに収束するとは、
「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、
ある自然数Nが存在して、
任煮の番号n≧Nに対して |an-α|≦ε となること」。
公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理)
閉区間の入れ子
すなわち
があって、
Inの長さ(bn-an)が零に収束すると仮定する。
このときすべての区間Inに共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。
命題 1.5 (四則の極限の交換)
lim an=α, lim bn=βとする。
(1)lim (an±bn)=α±β
(2)lim anbn=αβ
(3)lim (an/bn)=α/β (ただしβ≠0)
命題 1.6
上に有界な単調増加数列は収束する。
つまり、ならば
なる実数αが存在する。
命題 1.7 (ピタゴラスの定理)
定義 1.8 (三角関数の古典的な定義)
命題 1.9 (余弦定理)
定義 1.10 (ユークリッド空間とは)
z=0 のときの θ はすべての実数とする。ここでは深く考えない。
z=0 のときも成り立つ。
命題 1.11
絶対値 r, 偏角 α の複素数 r(cosα+isinα) に、
絶対値 s, 偏角 β の複素数 s(cosβ+isinβ) をかけると、
絶対値が s 倍され、偏角が β だけ増加し、
積は、rs(cos(α+β)+isin(α+β)) となる。
定理 1.12 (オイラーの公式)
定理 1.13 (オイラー)
定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義)
任意の に対して、ex, cos x, sin x を次のように定める。
定理 1.15 (オイラーの積公式)
命題 1.16 (ウォリスの公式)
定理 (二項定理)
α∈R,|x|<1 に対して、次が成り立つ。
命題 1.17
命題 1.18 (コーシーの判定法)
命題 1.19 (ダランベールの判定法)
命題 1.20 (ラーベの判定法)
命題 1.21
交代級数は収束する。
定義 1.22
f(x)が[a, b]に含まれる点yで連続であるとは、
(※) xがyに限りなく近づくときf(x)もf(y)に限りなく近づくこと
と定める。
f(x)が任意のy∈[a, b]で連続のとき
f(x)は[a, b]で連続であるという。
定理 1.23 (中間値の定理)
f(x)が[a, b]で連続、f(a)<0、f(b)>0 とすると、
あるc∈(a, b)においてf(c)=0となる。
定理 1.25
f(x)が[a, b]で連続、内点c∈(a, b)でf(c)>0とする。
このとき、cを含み、任意のx∈Uに対してf(x)>0となるような閉区間Uが存在する。
定理 1.26 (ボルツァーノ=ワイヤシュトラスの定理)
任意の有界な数列anは、収束する部分列an(k)をもつ。
言い換えると、
全てのnでan∈[a, b]のとき、anの部分列an(k)で
を満たすものが存在する。
命題 1.27
有界な数の集合A(ただしA≠ø)には上限sup(A)、下限sub(A)が存在する。
定理 1.24 (最大値、最小値の存在)(夏学期の大定理)
[a, b]上の連続関数は、その区間内に最大値、最小値をもつ。