*問題Ⅰ *(a) $$ 1+\sqrt{2} $$を連分数展開する問題。 >$$ 1+\sqrt{2} $$は白銀数δ&sub(){S}とか呼ばれるらしいです。 >連分数展開するときれいになります。親切設計です。 &bold(){<解法1>} 覚えていた。 &bold(){<解法2>} とりあえず計算した。 1+√2=2.41...なので、整数部分は2。 小数部分の逆数は、$$ \frac{1}{(1+\sqrt{2})-2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=1+\sqrt{2} $$ 早くも循環したのであとはずっと2。 ということで答えは、 $$ 1+\sqrt{2} = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}} $$ (終) *(b) $$ e^{\pi i/3} $$を計算する問題。 >オイラーの公式を覚えているかのチェック。 &bold(){<解法1>} 過程を書かない場合。 複素平面に単位円を書いて、座標が1の点から反時計回りにπ/3だけ進むと1/2+i√3/2。 &bold(){<解法2>} 過程を書く場合。 $$ e^{\pi i/3} = \cos {\pi/3} + i\sin{\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ (終) *問題Ⅱ *(a) $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} $$の収束性を調べ、その値を計算する問題。 >大学入試で良く見るやつ。今年(2013)の東大前期の数学(理科)第3問にも登場しました。 &bold(){<収束判定1>} ぱっと見で判定する。 2^n は n^3 より強く発散するので、n/2^n は n/n^3 = 1/n^2 よりも速く零に近づく。 ここで、1/n^2 は収束するので n/2^n も収束する。 &bold(){<収束判定2>} コーシーの判定法は使えますが、ダランベールの判定法を使うのが楽です。 ということで、lim(a&sub(){n+1}/a&sub(){n})を計算します。 $$ a_{n+1}/a_n = \frac{n+1}{2^{n+1}} \Big / \frac{n}{2^n} = \frac{n+1}{2n} \xrightarrow{n\to\infty} \frac{1}{2} < 1 $$ 収束値が1より小さいので級数は収束。 &bold(){<解法1>} とりあえず足した。 >足し算の順番を入れ替えていますが、絶対収束することが前提です。 >つまり、あらかじめ収束を確認する必要があります。 1/2が1個、1/4が2個、1/8が3個、1/16が4個、1/32が5個…を足せば良い。 まず1個目は、1/2,1/4,1/8,1/16,1/32...なので足すと1。 2個目は1/2は無くて、1/4,1/8,1/16,1/32...なので足すと1/2。 同様に3個目は、1/8,1/16,1/32...なので足すと1/4。 4個目は足すと1/8。以下同様。 したがって、全部足すと1+1/2+1/4+1/8+1/16+...=2 &bold(){<解法2>} 部分和を計算します。 >この解法の場合、収束を確認する必要がありません。 #math(128){{{\begin{align} \sum_{n=1}^N \frac{n}{2^n} & = \sum_{n=1}^N \left( \frac{n}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n} \right) \\ & = \sum_{n=1}^N \left( \frac{n-1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}} \right) \\ & = \sum_{n=1}^N \left( \frac{n-1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n} \right)+\sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{2^{n-1}} \right) \\ & = \frac{0}{2^0}-\frac{N}{2^N}+\left( 2-\frac{1}{2^{N-1}} \right) \\ & \xrightarrow{N\to\infty} 2 \end{align} }}} *(b) $$ \lim_{x \to 0} \frac{x-\tan x}{x-\sin x} $$を計算する問題。 &bold(){<解法1>} >ロピタルの定理。講義では扱わなかったはずだが、受験で使った人もいるらしい。 分子は微分すると、1-1/(cosx)^2 分母は微分すると、1-cosx ロピタルの定理より(最初の変形)、 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x-\tan x}{x-\sin x} = \lim _{x \to 0} \frac{1-\frac{1}{\cos^2x}}{1-\cos x} = \lim _{x \to 0} \frac{\cos^2x-1}{\cos^2x(1-\cos x)} = \lim _{x \to 0} -\frac{1+\cos x}{\cos^2x} = -2$$ &bold(){<解法2>} >分子、分母を係数が0でなくなるまでテイラー展開。 分母は、$$ 0+0x+0x^2+x^3/6+0x^4-\cdots $$ 分子は、tanの展開を覚えていればそれでよい。 覚えてなくても地道に、 $$ (x-\tan x)' = 1-(1+\tan^2x) = -\tan^2x \overset{x=0}{=} 0 $$ $$ (-\tan^2x)' = -2\tan x(1+\tan^2 x) = -2(\tan x+\tan^3x) \overset{x=0}{=} 0 $$ $$ (-2(\tan x+\tan^3x))' = -2( (1+\tan^2x)+3\tan^2x(1+\tan^2x) ) = -2(1+3\tan^2x)(1+\tan^2x) \overset{x=0}{=} -2 $$ と計算すれば、$$ x-\tan x = 0+0x+0x^2+(-2)x^3/6+\cdots $$とわかるので、 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x-\tan x}{x-\sin x} = \lim _{x \to 0} \frac{(-2)x^3/6+\cdots}{x^3/6+\cdots} = -2$$ *(c) $$ \frac{d^2}{{dx}^2} \sqrt{1+x^2} $$を計算する問題。 >(うまい解法があったら教えてください) &bold(){<解法>} $$ \left(\sqrt{1+x^2}\right)' = \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$ $$ \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)' = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{(1+x^2) - x \cdot x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}$$ *問題Ⅲ *(a) *(b) *問題Ⅳ *問題Ⅴ *(a) *(b) *(c)