&tags() &topicpath() ---- #contents() *有限加法族 与えられた空間Xの部分集合族$$\mathfrak{F}$$が以下の条件を満たすとき、これを''有限加法族''とよぶ。 + $$\phi \in \mathfrak{F}$$ + $$A \in \mathfrak{F}$$ならば$$A^c \in \mathfrak{F}$$ + $$A,B \in \mathfrak{F}$$ならば$$A \cup B \in \mathfrak{F}$$ *Jordan測度 空間Xとその有限加法族$$\mathfrak{F}$$に対して$$\mathfrak{F}$$-集合函数m(A)が以下の条件を満たすとき、mを$$\mathfrak{F}$$の上の''Jordan測度''(有限加法的測度)という。 + $$\forall A \in \mathfrak{F}$$に対して$$0 \leq m(A) \leq \infty$$、特に$$m(\phi)=0$$ + $$A,B \in \mathfrak{F}, A \cap B = \phi$$ならば$$m(A+B)=m(A)+m(B)$$ *諸定義 : 有限加法性 | どの2つも互いに交わらない集合列$$A_i(i=1,\cdots n) \in \mathfrak{F}$$に対して、 |SIZE(30):$$m(\sum_{j=1}^n A_j) = \sum_{n=1}^n m(A_j)$$| : 完全加法性 | どの2つも互いに交わらない集合列$$A_i(i=1,\cdots) \in \mathfrak{F}$$に対して、$$A = \sum A_n \in \mathfrak{F}$$が成り立つならば |SIZE(30):$$m(A) = \sum_{j=1}^\infty m(A_n)$$| *Carathéodory外測度 空間Xのすべての部分集合Aに対して定義された集合函数$$\Gamma(A)$$があって以下の条件を満たすときこれを''Carathéodry外測度''という。 + $$0 \leq \Gamma(A) \leq \infty, \quad \Gamma(\phi)=0$$ (非負性) + $$A \subset B$$ならば$$\Gamma(A) \leq \Gamma(B)$$ (単調性) + |SIZE(30):$$\Gamma\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \leq \sum_{n=1}^\infty \Gamma(A_n)$$| (劣加法性) ---- #comment()
