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1月27日 - (2011/02/03 (木) 01:54:31) の最新版との変更点
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※編集お願いします。
スキャナー持っていないのでノート参照のところはあとからあげることに。
*２章 時系列解析要項
*２－１ 時系列に現れる確率過程と用語の定義
$$Y_t$$ を確率過程とする．これは時間と共に変化する確率変数である．例として，株価，為替，ブラウン運動などがあげられる．(→詳しくは第３章でブラウン運動を扱います) 連続的も離散的もあるが，ここでは離散的なものを扱いｔ＝0,±1,±2・・・とする．
-&bold(){$$Y_t$$が定常であるという定義（P17)}
（１） $$Y_t$$ の期待値が定数
（２） $$Y_t$$ と $$Y_{t-h}$$ の共分散は $$h$$ のみに依存する関数となる．
※（２）$$Cov(Y_t,Y_t)=Var(Y_t)=Const$$
-&bold(){時差hの標本自己共分散 } $${\hat \gamma} _h=\frac{\sum_{t=h+1}^n (y_t-{\bar y})(y_{t-h}-{\bat y})}{n}$$
-&bold(){時差hの標本自己相関} $$\rho_h=\frac{{\hat \gamma}_h}{{\hat \gamma}_0}$$
-&bold(){定常過程の例}
定常過程の例として以下のモデルが考えられる．
$$Y_t=\sum_{i=0}^{\infty} a_iX_{t-i}$$
条件1より線形性を使うと $$E(Y_t)=Const$$ となる。(※例えば株価の期待値が無限ならその株を買わない人はいない等の例を考えると有限と仮定するのが妥当である．) また条件2より分散の公式などを使うと $$Y_t$$ は定常であることがわかる。
*２－２ ｐ次の自己回帰モデル
----
&bold(){命題２・１}：&u(){自己回帰モデルAR(p)の特性方程式}
$$\phi (x)=1-\sum_{j=1}^p \phi_jx^j=0$$
&u(){の解の絶対値が全て1より大きいとき，AR(p)は定常性を持つ．}
----
まず特性方程式の両辺を $$x^p(\neq 0)$$ で割り $$t=\frac{1}{x}$$ と置換すると，
$$t^p-\sum_{j=1}^{p}\phi_jt^{p-j}=0$$ ・・・(**)
となる．これの解が全て $$|t|<1$$ で解を持つときAR(p)の定常性を示したい．
まず簡単のため $$p=1$$ のときを考える．(→P１８の１０～１２行目) このモデルは以下の通り．
$$Y_t=\phi_0+\phi_1Y_{t-1}+\epsilon_t$$・・・①
ここで $$\mu $$を
$$\mu=\phi_0+\phi_1\mu$$・・・②
の解とする．(この $$\mu $$ が t によらず $$E(Y_t)$$ に等しい(定常性をもつ)ことを示したい．)
①-②より，$$Y_{i+1}-\mu=\phi_1(Y_i-\mu)+\epsilon_{i+1}$$ の関係式をつかって代入を繰り返せば，
$$E(Y_t-\mu )=E(\phi_1^t (Y_0-\mu))+E(\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i\epsilon_{t-i})$$
が得られる．ここで右辺の第一項と第二項に着目すると，
$$E(\phi_1^t (Y_0-\mu))=\lim_{n\rightarrow \infty}E(\phi_1^{t+n} (Y_{-n}-\mu))=0\ (|\phi_1|<1)$$・・・③
(tに依存せず0に収束することを示したいので，nを新たに設定してその極限を考える)
$$E(\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i\epsilon_{t-i})=\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i E(\epsilon_{t-i})=0 (E(\epsilon_{t-i})=0)$$
となる．従って，
$$E(Y_t-\mu)=0 \Leftrightarrow E(Y_t)=\mu$$
が示され，
$$|\phi_1|< 1$$⇒「定常性を持つ」
が示された．
また③の議論より，
$$|\phi_1|\geq 1$$ ⇒「発散するため定常性をもたない」、
が示され，この対偶をとれば，
「定常性を持つ」⇒ $$|\phi_1|< 1$$
が示される. つまり
「定常性を持つ」⇔ $$|\phi_1|< 1$$
が示された．
//-以下１８ページのAR(p)の議論．
//$$\gamma_h=\phi_1\gamma_{h-1} (h\neq0)$$
//$$\gammma_0=\phi_1\gamma_1 と\sigma^2$$ が独立
//P19のAR(1)とAR(2)の議論も参照しながら示せる
----
-&bold(){pが2以上の場合の議論}
pが2以上の場合はまず
$$\vec{Y}_t=A\vec{Y}_{t-1}+\vec{\epsilon}_t\ \ \ (\vec{Y}_t=(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_p)^T,\vec{\epsilon}_t=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots ,\epsilon_p)^T)$$ (A:p次正方行列)
と変形する．Aが重複を含めてp個の固有値をもつときジョルダン標準系(上三角)に変換可能で，
$$\lim_{n\rightarrow \infty} A^n=O$$ ⇔ 「Aの全ての固有値の大きさが1より小さい」
である．一般にAの固有方程式が
$$t^p-\sum_{j=1}^{p}\phi_jt^{p-j}=0$$ $$t=\frac{1}{x}$$
と表わせることから，
「AR(p)が定常性をもつ」⇔ 「特性方程式の解が1より大きい」 (固有値が全て1より小さい)
が示せる．
//同じ議論をつかうと同様なことが示せる。
//コンパニオン行列（＝同伴行列）がかかわってきます
//$$p\times p$$の行列。固有方程式の解を考えれば良い。
//Aの絶対値が1より小さい（無限なら発散してしまう）
//※教科書ではなくて**（上を参照）に対応しています
ｐ＝２だと二次方程式の解の配置問題
ｐ＝３だと三次方程式…
ｐ＝２の場合は１９ページに書いてあります。その条件を書くと三角形になります。
この三角形は暗記しておくとテストに役立つそう
#image(graph.png)
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
上図
$$y=-\frac{1}{4}x^2, y=x+1, y=-x+1, y=-1$$
３点は（±2,-1）（0,1）
実数解をもつか虚数解をもつかで場合分けすればよい
※なおAR(1)モデルはラグ作用素Lと微分作用素Dを対応させて考えると，
$$\frac{dy}{dt}=ay+b(t)$$
のアナロジーと考えられる．この解は
$$y=p(t)+q(t)$$
ただし， $$p(t)$$ は $$\frac{dy}{dt}=ay$$ の一般解とし，$$q(t)$$ は特解とする．これは物理の空気抵抗ある落下モデルと類似している．また特性方程式の形も微分方程式のそれに類似していることが分かる．
*ユールウォーカー方程式
P１９を参照。
$$Y_t$$を決めるためにの$$\phi_1$$と$$\phi_2$$を利用する。
$$\gamma^n$$を求める時は漸化式を作ればとけます
※脱線。
ラグ作用素というものがある。これを使えばよい。
演算子をLとする
$$LY_t=Y_{t-1}$$ (微分演算子Dに対応していると考える)
$$L\vec{Y_t}=\vec{Y}_{t-1}$$ (微分演算子Dに対応していると考える)
%%線形近似で安定解をもつのが固有値１以下である%%
すいません，ゼミで上記のことを言っていたのですが，微分方程式の平衡点まわりの線形近似で安定解を持つ条件は 「固有値の実部が負になる」 です．申し訳ありません．(小島)
ラグオペレータLとは？
時間を一つ前に戻す演算子
$$LX_t=X_{t-1}$$
いいところ…定数のように扱える。
普通の演算子では変なことできないが、このラグオペレータは自由に変換できたりします。
※かってに割ったり分母にもってきたりふつうの数字のようにあつかえます。
$$Y_t=2+\frac{5}{6}Y_{t-1}-\frac{1}{6}Y_{t-2}+\epsilon_{t}$$ …(AR(2)) 線形和＋誤差
→$$\mu=6$$（これは導かれる物）
これに
$$E(Y_t)=2+\frac{5}{6}E(Y_{t-1})-\frac{1}{6}E(Y_{t-2})$$
を引くと
$$E(Y_t)= E(Y_{t-1})= E(Y_{t-2})=\mu$$
を利用して
$$Y_t-6=\frac{5}{6}(Y_{t-1}-6)-\frac{1}{6} (Y_{t-2}-6)+ \epsilon_t$$
となる。
三項間漸化式みたいなのを解きたい。
$$Y_{t-1}=LY_t$$
$$Y_{t-2}=L^2Y_{t}$$
であることを利用し
あとはプリント参照
やる前はｔをつかっているわけだがLをつかえば一番最後の式になる
よって最初から$$Y_t$$の漸化式にしないで$$\epsilon$$だけで$$Y_t$$を表せることがわかる。
※ただしこの計算は先程の三角形の中に入っているため成り立った。
反転可能性
：特性方程式の解の絶対値がすべて１より大きい
→細かいけどもアクチュアリーの過去問に出てた（条件として）
これは反転可能性を満たすとき特性方程式の解が１より小さいか大きいかみたいな感じ
で試験に出てました。
識別可能性
：特性方程式の解の絶対値が１以上
なにがちがう？
１より大きいと１以上でひっかける。注意してください。
識別可能性
期待値、自己共分散があたえられたときモデルを１つに特定できる
（前提：１以下がある）
MA(q)には定常性あり。（tによらない）
その他（数学受かった人からの情報）
三角形は何かとイメージしておくと役立つ。
AR(1) AR(2)もやるといいかも。
P19の下、$$\gamma_0$$の導出を覚えると良い。
できれば$$\gamma_1$$, $$\gamma_2$$も…
※編集お願いします。
スキャナー持っていないのでノート参照のところはあとからあげることに。
*２章 時系列解析要綱
*２－１ 時系列に現れる確率過程と用語の定義
$$Y_t$$ を確率過程とする．これは時間と共に変化する確率変数である．例として，株価，為替，ブラウン運動などがあげられる．(→詳しくは第３章でブラウン運動を扱います) 連続的な場合も離散的な場合もあるが，ここでは離散的なものを扱いｔ＝0,±1,±2・・・とする．
-&u(){&bold(){$$Y_t$$が定常であるという定義（P17)}}
（１） $$Y_t$$ の期待値が定数
（２） $$Y_t$$ と $$Y_{t-h}$$ の共分散は $$h$$ のみに依存する関数となる．
※（２）$$Cov(Y_t,Y_t)=Var(Y_t)=Const$$
-&u(){&bold(){時差hの標本自己共分散 }} $${\hat \gamma} _h=\frac{\sum_{t=h+1}^n (y_t-{\bar y})(y_{t-h}-{\bat y})}{n}$$
-&u(){&bold(){時差hの標本自己相関}} $$\rho_h=\frac{{\hat \gamma}_h}{{\hat \gamma}_0}$$
-&u(){&bold(){定常過程の例}}
例：定常過程の例として以下のモデルが考えられる．
$$Y_t=\sum_{i=0}^{\infty} a_iX_{t-i}$$
条件1より線形性を使うと $$E(Y_t)=Const$$ となる。(※例えば株価の期待値が無限ならその株を買わない人はいない等の例を考えると有限と仮定するのが妥当である．) また条件2より分散の公式などを使うと $$Y_t$$ は定常であることがわかる。
*２－２ ｐ次の自己回帰モデル
----
&bold(){命題２・１}：&u(){自己回帰モデルAR(p)の特性方程式}
$$\phi (x)=1-\sum_{j=1}^p \phi_jx^j=0$$
&u(){の解の絶対値が全て1より大きいとき，AR(p)は定常性を持つ．}
----
-&u(){&bold(){方針}}
まず特性方程式の両辺を $$x^p(\neq 0)$$ で割り $$t=\frac{1}{x}$$ と置換すると，
$$t^p-\sum_{j=1}^{p}\phi_jt^{p-j}=0$$ ・・・(**)
となる．これの解が全て $$|t|<1$$ で解を持つときAR(p)の定常性を示したい．
----
まず簡単のため $$p=1$$ のときを考える．(→P１８の１０～１２行目) このモデルは以下の通り．
$$Y_t=\phi_0+\phi_1Y_{t-1}+\epsilon_t$$・・・①
ここで $$\mu $$を
$$\mu=\phi_0+\phi_1\mu$$・・・②
の解とする．(この $$\mu $$ が t によらず $$E(Y_t)$$ に等しい(定常性をもつ)ことを示したい．)
①-②より，$$Y_{i+1}-\mu=\phi_1(Y_i-\mu)+\epsilon_{i+1}$$ の関係式をつかって代入を繰り返せば，
$$E(Y_t-\mu )=E(\phi_1^t (Y_0-\mu))+E(\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i\epsilon_{t-i})$$
が得られる．ここで右辺の第一項と第二項に着目すると，
$$E(\phi_1^t (Y_0-\mu))=\lim_{n\rightarrow \infty}E(\phi_1^{t+n} (Y_{-n}-\mu))=0\ (|\phi_1|<1)$$・・・③
(tに依存せず0に収束することを示したいので，nを新たに設定してその極限を考える)
$$E(\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i\epsilon_{t-i})=\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i E(\epsilon_{t-i})=0 (E(\epsilon_{t-i})=0)$$
となる．従って，
$$E(Y_t-\mu)=0 \Leftrightarrow E(Y_t)=\mu$$
が示され，
$$|\phi_1|< 1$$ ⇒「定常性を持つ」
が示された．
また③の議論より，
$$|\phi_1|\geq 1$$ ⇒「発散するため定常性をもたない」、
が示され，この対偶をとれば，
「定常性を持つ」⇒ $$|\phi_1|< 1$$
が示される. つまり
「定常性を持つ」⇔ $$|\phi_1|< 1$$
が示された．
//-以下１８ページのAR(p)の議論．
//$$\gamma_h=\phi_1\gamma_{h-1} (h\neq0)$$
//$$\gammma_0=\phi_1\gamma_1 と\sigma^2$$ が独立
//P19のAR(1)とAR(2)の議論も参照しながら示せる
----
-&u(){&bold(){pが2以上の場合の議論}}
pが2以上の場合はまず
$$\vec{Y}_t=A\vec{Y}_{t-1}+\vec{\epsilon}_t\ \ \ (\vec{Y}_t=(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_p)^T,\vec{\epsilon}_t=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots ,\epsilon_p)^T)$$ (A:p次正方行列)
と変形する．Aが重複を含めてp個の固有値をもつときジョルダン標準系(上三角)に変換可能で，
$$\lim_{n\rightarrow \infty} A^n=O$$ ⇔ 「Aの全ての固有値の大きさが1より小さい」
である．一般にAの固有方程式が
$$t^p-\sum_{j=1}^{p}\phi_jt^{p-j}=0\ \ \ \ \ \ t=\frac{1}{x}$$
と表わせることから，
「AR(p)が定常性をもつ」⇔ 「特性方程式の解が1より大きい」 (固有値が全て1より小さい)
が示せる．
//同じ議論をつかうと同様なことが示せる。
//コンパニオン行列（＝同伴行列）がかかわってきます
//$$p\times p$$の行列。固有方程式の解を考えれば良い。
//Aの絶対値が1より小さい（無限なら発散してしまう）
//※教科書ではなくて**（上を参照）に対応しています
ｐ＝２だと二次方程式の解の配置問題
ｐ＝３だと三次方程式…
ｐ＝２の場合は１９ページに書いてあります。その条件を書くと三角形になります。
この三角形は暗記しておくとテストに役立つそう
#image(graph.png)
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
上図
$$y=-\frac{1}{4}x^2, y=x+1, y=-x+1, y=-1$$
３点は（±2,-1）（0,1）
実数解をもつか虚数解をもつかで場合分けすればよい
※なおAR(1)モデルはラグ作用素Lと微分作用素Dを対応させて考えると，
$$\frac{dy}{dt}=ay+b(t)$$ (定数変化法)
のアナロジーと考えられる．この解は
$$y=p(t)+q(t)$$
ただし， $$p(t)$$ は $$\frac{dy}{dt}=ay$$ の一般解とし，$$q(t)$$ は特解とする．これは物理の空気抵抗ある落下モデルと類似している．また特性方程式の形も微分方程式のそれに類似していることが分かる．
*ユールウォーカー方程式
P１９を参照。
$$Y_t$$を決めるためにの$$\phi_1$$と$$\phi_2$$を利用する。
$$\gamma^n$$を求める時は漸化式を作ればとけます
-&bold(){ラグ作用素}
ラグ作用素というものがある。これを使えばよい。
ラグ作用素をLとする
$$LY_t=Y_{t-1}$$ (微分演算子Dに対応していると考える)
$$L\vec{Y_t}=\vec{Y}_{t-1}$$ (微分演算子Dに対応していると考える)
%%線形近似で安定解をもつのが固有値１以下である%%
すいません，ゼミで上記のことを言っていたのですが，微分方程式の平衡点まわりの線形近似で安定解を持つ条件は 「固有値の実部が負になる」 です．申し訳ありません．(小島)
ラグオペレータLとは時間を一つ前に戻す演算子のことである．
$$LX_t=X_{t-1}$$
特徴として，定数のように扱える．また普通の演算子では認められないこと(演算子の交換等)はできないが，このラグオペレータは自由に変換できる．
//※かってに割ったり分母にもってきたりふつうの数字のようにあつかえます。
$$Y_t=2+\frac{5}{6}Y_{t-1}-\frac{1}{6}Y_{t-2}+\epsilon_{t}$$ …(AR(2)) 線形和＋誤差
これを解くと， $$\mu=6$$ が得られる． (&u(){[[ラグ作用素>http://www43.atwiki.jp/actuary-seminar?cmd=upload&act=open&pageid=13&file=Lag.pdf]]}参照}
これに
$$E(Y_t)=2+\frac{5}{6}E(Y_{t-1})-\frac{1}{6}E(Y_{t-2})$$
を引くと
$$E(Y_t)= E(Y_{t-1})= E(Y_{t-2})=\mu$$
を利用して
$$Y_t-6=\frac{5}{6}(Y_{t-1}-6)-\frac{1}{6} (Y_{t-2}-6)+ \epsilon_t$$
となる。
三項間漸化式に相当するものを解きたい。
$$Y_{t-1}=LY_t$$
$$Y_{t-2}=L^2Y_{t}$$
であることを利用し
あとはプリント参照
やる前はｔをつかっているわけだがLをつかえば一番最後の式になる
よって最初から$$Y_t$$の漸化式にしないで$$\epsilon$$だけで$$Y_t$$を表せることがわかる。
※ただしこの計算は先程の三角形の中に入っているため成り立った。
反転可能性
：特性方程式の解の絶対値がすべて１より大きい
→細かいけどもアクチュアリーの過去問に出てた（条件として）
これは反転可能性を満たすとき特性方程式の解が１より小さいか大きいかみたいな感じ
で試験に出てました。
識別可能性
：特性方程式の解の絶対値が１以上
なにがちがう？
１より大きいと１以上でひっかける。注意してください。
識別可能性
期待値、自己共分散があたえられたときモデルを１つに特定できる
（前提：１以下がある）
MA(q)には定常性あり。（tによらない）
その他（数学受かった人からの情報）
三角形は何かとイメージしておくと役立つ。
AR(1) AR(2)もやるといいかも。
P19の下、$$\gamma_0$$の導出を覚えると良い。
できれば$$\gamma_1$$, $$\gamma_2$$も…
