センター試験解法テクニック @ 2ch
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数学 > 数学B > 数列 > {等差×等比}型数列の和⇒微分を利用せよ

オリジナル

等差数列×等比数列の和は計算が大変。教科書ではずらして解くわけだが、
簿記などの別冊冊子の配布を希望していなければ、計算するスペースが無い
恐れがある。
そんな時は微分を使うべし。使うか使わないかで最悪5分以上の差が出る。
等差数列をpn+q,等比数列をar^(n-1)とすると
等差数列×等比数列＝panr^(n-1)+qar^(n-1)=Anr^(n-1)+Br^(n-1)とおける。
∑{Akr^(k-1)+Br^(k-1)}=∑Akr^(k-1)+∑Br^(k-1)
Bの方はそのまま公式。後は前の部分。
x^(n+1)-1=(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)(x-1)よりｘ≠1のとき
(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)={x^(n+1)-1}/(x-1)
xで微分して
1+2x+3x^2+・・・+(n-1)x^(n-2)+nx^(n-1)={(n+1)(x-1)x^n-x^(n+1)+1}/(x-1)^2
x=rとすれば
∑kr^(k-1)=1+2r+3r^2+・・・+(n-1)r^(n-2)+nr^(n-1)
={(n+1)(r-1)r^n-r^(n+1)+1}/(r-1)^2
∑はk=1～n
微分の結果を丸暗記しておくと、あっという間に解ける。
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　　　イ　　 i　ｲ　i´｀!　　　ﾚ　i´｀! ﾄ!　 ﾊ　く　　　は
　　Λ　 　 ハ　　l__ﾘ　　　 　 ｌ__ﾘ .|レ'ン　　７
ヽV　 V´｀フ .| ｀ー-　　 ､　　-一´i ハ　i　　＼/＼/＼
　　　　ブ く .ﾊ 　,r‐- ､＿_,-‐-､ 〈人ﾉ　ﾊ　　 ﾍ
　　区 .ｌ　/　へゞー-,.ー ､-一.!　ﾊﾉ- ､ ﾍ　　　',
　　間 .ス　ゝ　/:::｀＞ー一＜´::|7 ﾉ　　 ヽ/　　　',
　　だ!.ト　/ 　ｲ::::::ﾄ､＿|｡|＿ﾉ::::|ﾄﾉ　

(出典: 初代 >>498)

TeX表示・補足

等差数列を a_{n}=pn+q、等比数列を b_{n}=ar^{n-1} とする。

いま、求めたいものは a_{n}b_{n} の和 \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k} である。ここで、

a_{n}b_{n}&=&panr^{n-1}+qar^{n-1}

について、 pa=A,\ qa=B (ともに定数) とおけば、

</dd></dl> <p>\begin{align} \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum_{k=1}^{n}(Akr^{k-1}+Br^{k-1}) \\ &=\sum_{k=1}^{n}Akr^{k-1}+\sum_{k=1}^{n}Br^{k-1} \\ &=A\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}+B\sum_{k=1}^{n}r^{k-1} \end{align} \sum_{k=1}^{n}r^{k-1} については等比数列の和の公式で対応できる。

一方、

\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1}

の処理がこのテクニックの要である。

以下この処理について述べる。 x^{n+1}-1 という式の変形について考えると、

x^{n+1}-1=(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n})(x-1)

とできるから、 x\ne1 のとき

1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n}&=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

両辺をxで微分して(文系履修者は、右辺の微分に商の微分法を用いることに注意)、

1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots+(n-1)x^{n-2}+nx^{n-1}&=\frac{(n+1)(x-1)x^{n}-x^{n+1}+1}{(x-1)^{2}}

x=r とすると、これは処理しようとしているシグマの式と一致するから、

</dd></dl> <p>\begin{align} \sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}&=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1} \\ &=\frac{(n+1)(r-1)r^{n}-r^{n+1}+1}{(r-1)^{2}} \end{align}

「{等差×等比}型数列の和⇒微分を利用せよ」をウィキ内検索
最終更新：2009年04月04日 19:26
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