平成23理論05

2026-09-07 11:35:48 (Mon)

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問5

20[℃]における抵抗値が $R_1[\Omega]$ 、抵抗温度係数が $\alpha_1 [{}^\circ\mathrm{C}^{-1}]$ の抵抗器Aと
20[℃]における抵抗値が $R_2[\Omega]$ 、抵抗温度係数が $\alpha_2 [{}^\circ\mathrm{C}^{-1}]$ の抵抗器Bが並列に接続されている。
その20[℃]と21[℃]における並列抵抗値をそれぞれ $r_{20}[\ohm],r_{21}[\ohm]$ とし
変化率を $\frac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}}$

解説1

R1は温度で変化するけど、R2は変化しないのは、題意から判るよね？

で、温度変化の式ってのは係数αで温度上昇N℃に対して
R’= R(1+α×N)
つまり、係数0.01で10℃上がったら、1Ωの抵抗が1.1Ωになるんだ。

あとは並列回路の計算式
R合 = R1*R2 / (R1+R2)
に当てはめれば、

① r20 = R1*R2 / (R1+R2)
② r21 = R1(1+α)*R2 / { R1(1+α) + R2 }
ってのは出るよね。

で、変化率として問題に示されている
(r21-r20) / r20
に代入するんだけど、その時が最大のポイント。
「これ、全部かくのダルイから、分母を通分すればイインデネーノ？」
って思えると、ガッツンガッツン解けるようになる。
あとＺ = { R1(1+α) + R2 } みたいに、書くのダルイ部分を
記号に置き換えるとかね。

すなわち
(r21-r20) / r20
= {R1*R2(R1+R2)(1+α) - R1*R2*Ｚ｝/ R1*R2*Ｚ
= [ (R1+R2)*(1+α) - { R1(1+α) + R2 } ] / { R1(1+α) + R2 }
= α*R2 / (R1+R2+α*R1)

解説2

$\begin{align} r_{20} &= \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\\ r_{21} &= \frac{R1(1+\alpha_1) \times R_2}{R_1+R2+ \alpha R_1}\\ \frac{r_{21} - r_{20}}{r_{20}} &= \frac{r_{21}}{r_{20}} - 1 \\ &= \frac{(R_1+R_2) \times R_1 R_2(1+\alpha_1)}{R_1 R_2 \times (R_1+R_1+\alpha_1 R_1} - 1\\ &= \frac{(R_1+R_2)(1+\alpha_1)}{(R_1+R_1+\alpha_1 R_1)} - 1\\ &= \frac{\alpha_1 R_2}{(R_1+R_1+\alpha_1 R_1)} \end{align}$