third

行列

$detA\neq0$ 　なら　 $Ax=0$ は非自明解を持たない

$detA=0$ 　なら　 $Ax=0$ は非自明解を持つ
$A$ が正則なら $AA^{-1}=E$ より $detAdetA^{-1}=detE=1$ より $detA\neq0$ となるので $A$ は正則ではない。
$A$ は正則でなければ、 $A:R^n\to R^n(x\mapsto Ax)$ に対して
$A(x_1,x_2,\ldots ,x_n)=E$ となるような $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ の組はないので
少なくとも一つの $e_i$ に対して $Ax\neq e_i$ となる
これより $A$ は全射ではないので単射でないことがわかる
もし $Ax=0$ は非自明解を持たないとすれば
$Ax=Ay$ としたとき $A(x-y)=0$ より $x-y=0$ となり矛盾である

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最終更新：2009年11月29日 22:13

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