平成24年7月23日電磁気学I本試験

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平成24年7月23日実施電磁気学I 本試験中村厚試験時間60分

[1]
1. 積分公式 $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(z^2+a^2)^{3/2}}=\frac{2}{a^2}$ を示せ。
2. 太さの無視できる無限に長い直線上に、一様な電荷密度 $\lambda$ で電荷が分布している。この電荷分布が作る電場をクーロンの法則により求めよ。
[2]
1. 関数 $(1+X)^{-1/2}$ を $X$ について2次までマクローリン展開せよ。
2. 電荷 $\pm q$ がそれぞれ座標 $(0,0,\pm d/2)$ にある。この電気双極子が位置 $\boldsymbol{r}$ に作る電位 ${\rm \phi}(\boldsymbol{r})$ を求めよ。
[3]
1. 無限に長く、太さの無視できる動線に一様な電流 $I$ が流れている。この導線から $r$ 離れたところにできる磁場(電束密度)を、Biot-Savartの法則を用いて求めよ。
2. 半径 $a$ の無限に長い円柱型の導体に、一様な電流密度 $j$ で電流が流れている。この電流が作る磁場を求めよ。
[4]
1. 無限に細い導体でできた、半径 $a$ の輪に一定の電流 $I$ が流れている。輪の中心軸上の磁場を、輪の中心軸上の磁場を輪の中心からの距離 $z$ の関数として求めよ。
2. この中心軸を $-\infty$ から $+\infty$ まで行き、無限遠をまわって $-\infty$ まで戻る閉曲線 $C$ に対して、アンペールの法則を確かめよ。他の問題で求めた積分の結果を用いてよい。
[5]
1. 任意のスカラー場 $\phi$ について、 $\mathrm{rot} \ \mathrm{grad}\phi=0$ を示せ。この数式から連想する物理法則を述べ、その物理的な意味を書け。
2. 任意のベクトル場 $\boldsymbol{A}$ について、 $\mathrm{div} \ \mathrm{rot}\boldsymbol{A}=0$ を示せ。この数式から連想する物理法則を述べ、その物理的な意味を書け。