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平成25年1月11日物理数学本試験

平成25年1月11日実施物理数学本試験十河清試験時間60分

H24 物理数学試験問題

[1]連成振動子系のラグランジアン

$L=\frac{1}{2}(\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2)-\frac{\omega^2}{2}(x_1^2+x_2^2)-\gamma x_1x_2,$ $(\omega^2>\gamma)$

を考える。オイラーラグランジュの運動方程式が

$\frac{d^2x_1}{dt^2}=-\omega^2x_1-\gamma x_2,$ $\frac{d^2x_2}{dt^2}=-\omega^2x_2-\gamma x_1$

となることを示せ。
また、この連立微分方程式を初期条件 $x_1(0)=a_1,$ $x_2(0)=a_2,$ $\dot{x}_1(0)=0,$ $\dot{x}_2(0)=0$ のもとで解け。

[2]強制振動の微分方程式

$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=F\cos({\rm \Omega} t), (\rm \Omega \neq \omega)$

の特別解として $x(t)=C\cos({\rm \Omega} t)$ の形のものを考える。係数 $C$ を決定せよ。
この微分方程式の一般解は、上記の解に斉次方程式の一般解 $A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ を加えたもので与えられることを用いて、初期条件 $x(0)=0,$ $\dot{x}(0)=0$ の場合に、上記の微分方程式の解を求めよ。

[3]関数 $f(x)=x$ 　 $(|x|<\pi)$ を周期的に拡張した「鋸刃状」の周期関数を考える。
この関数のフーリエ級数展開を

$f(x)\equiv x=\sum^{\infty}_{n=1} b_n\sin(nx),(|x|<\pi)$

と書くとき、係数 $b_n$ を求めよ。

[4]ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ に対するロドリグ公式

$P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n,(n=0,1,2,\cdots)$

を用いて、最初の3つの多項式 $P_0,P_1,P_2$ を求めよ。また、これらの間の「内積」

$I_{m,n}=\int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx$

を計算せよ $(m,n=0,1,2)$ 。また、一般項はどうなるか、その予想を書け。

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最終更新：2013年02月05日 14:21

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