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平成23年数学演習本試験

実施日不明 数学演習 本試験 十河清 試験時間60分

数学演習　試験問題

[１]以下の微分を計算せよ。
(1) \ \frac{\rm d}{{\rm d} x}(x \cos x), \ \ \ \ (2) \ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \biggl(\frac{x^2+1}{x}\biggl)
[２]以下の定積分値を求めよ。
(1) \ \int_0^1 \frac{{\rm d}x}{1+x^2}, \ \ \ \ (2) \ \int_0^\infty e^{-x}\sin x \ {\rm d}x,
[３]関数\tan xのマクローリン展開の最初の数項を求めたい。これは奇関数なので
\tan x = a_1 x+ a_3 x^3 + \cdots
と書けるから, 両辺に\cos xをかけて
\sin x = (a_1 x + a_3 x^3 + \cdots ) \times \cos x \ \ \ \ (1)
となることに注意すると, 以下の手順で係数 a_1, \ a_3 が求まる。
　（１）三角関数 \sin x と \cos x のマクローリン展開の最初の２項までを書け（導出は不要で, 残りは + \cdots とせよ）。
　（２）前問の結果を式 (1) に代入して右辺を展開し, 両辺の係数比較により, a_1, \ a_3 を求めよ。
[４]２次元極座標 x=r \cos \phi, \ y=r \sin \phi について, 以下の問に答えよ。
　（１）r, \ \phi を x, \ y を用いて表わせ。
　（２）以下の偏微分を計算し, 結果を x, \ y で表わせ。
\frac{\partial r}{\partial x}, \ \ \ \ \frac{\partial r}{\partial y}, \ \ \ \ \frac{\partial \phi}{\partial x}, \ \ \ \ \frac{\partial \phi}{\partial y}
[５]次の多重積分を計算せよ。
(1) \ \int_0^1 \int_0^1 (x^2+y^2) {\rm d}x {\rm d}y, \ \ \ \ (2) \ \int_R \int \frac{{\rm d}x{\rm d}y}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \ \ \ \ (R=\verb|{|x^2+y^2 \leq 1\verb|}|)

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最終更新：2013年02月05日 22:30
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