東京大学出版会 基礎数学12 偏微分方程式入門 目次 - 大学数学の勉強 | 社会人が趣味で大学数学を勉強するための書籍やサイト紹介

まえがき

第I部　偏微分方程式の立て方

第1章　空間１次元の波動方程式
§1.1　弧の振動
§1.2　棒の縦振動
§1.3　外力と抵抗

第2章　空間１次元の熱方程式
§2.1　１次元熱方程式
§2.2　１次元拡散方程式
§2.3　Brown運動

第3章　膜の振動
§3.1　運動方程式の直接的導出
§3.2　変分原理による方程式の導出
§3.3　極小曲面

第4章　３次元空間におけるLaplace方程式と熱方程式
§4.1　３次元空間のLaplace方程式
§4.2　３次元空間における熱伝導の方程式
§4.3　平均値の定理

第5章　弾性体の運動方程式
§5.1　弾性論のまとめ
§5.2　３次元弾性体の運動方程式
§5.3　薄板の運動方程式
§5.4　棒の運動方程式

第6章　流体の方程式
§6.1　連続の方程式
§6.2　Eulerの方程式
§6.3　３次元空間における音の伝播
§6.4　Navier-Stokes方程式
§6.5　渦度とポテンシャル
§6.6　水の波

第7章　電磁波の方程式
§7.1　Maxwellの波動方程式
§7.2　電磁波

第8章　複素係数の偏微分方程式
§8.1　函数論に現れる偏微分方程式
§8.2　Schrödingerの波動方程式

第II部　偏微分方程式の解き方

第1章　求積法
§1.1　１階準線型偏微分方程式の求積法
§1.2　空間１次元波動方程式の求積法
§1.3　一般の１階偏微分方程式の求積法

第2章　変数分離法
§2.1　空間１次元熱方程式の変数分離法による解法
§2.2　１次元波動方程式の変数分離法による解法
§2.3　長方形における変数分離
§2.4　平面極座標に関する変数分離
§2.5　空間極座標に関する変数分離

第3章　積分変数の応用
§3.1　Cauchy問題への部分Fourier変換の利用
§3.2　基本解
§3.3　定数変化法・Duhamelの原理
§3.4　Green函数
§3.5　混合問題の核函数

第4章　逐次近似法・摂動法
§4.1　半線型熱方程式の逐次近似法による解法
§4.2　半線型波動方程式
§4.3　基本的な積分不等式

第5章　平面波解の方法・漸近解の方法
§5.1　幾何光学近似
§5.2　準古典近似
§5.3　平面波分解の方法

第6章　数値解法I・差分法
§6.1　数値微分
§6.2　熱方程式の差分解法
§6.3　波動方程式の差分解法
§6.4　１階の波動方程式とその仲間

第7章　数値解析法II・有限要素法
§7.1　Poisson方程式の有限要素法による解法
§7.2　その他の問題への応用
§7.3　弱形式の正当性と誤差の見積もり

第III部　偏微分方程式論の基礎

第1章　１階偏微分方程式の基礎理論
§1.1　Lagrange-Charpit理論の正当化
§1.2　完全解の理論的基礎付け
§1.3　Hamilton-Jacobi理論

第2章　Cauchy-Kowalevskyの定理とHolmgrenの定理
§2.1　Cauchy-Kowalevskyの定理
§2.2　Holmgrenの定理

第3章　超函数と定数係数線型偏微分方程式
§3.1　Schwartzの超函数
§3.2　超函数に対する演算
§3.3　緩増加超函数とFourier変換
§3.4　定数係数線型偏微分方程式の基本解

第4章　超局所解析入門
§4.1　定数係数線型偏微分方程式の解の局所正則性
§4.2　超局所的な滑らかさと波面集合
§4.3　擬微分作用素
§4.4　特異性伝播とFourier積分作用素

参考文献
索引