高校生のための数学の質問スレPARTウィキ
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図形

4

： １３２人目の素数さん [] 2011/01/21(金) 02:57:40 

   数学Bの問題で、点P（３，４，５）を通りXY平面に平行な平面の方程式を教えてください

5 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 02:58:35 

   z=5

7

： １３２人目の素数さん [] 2011/02/05(土) 22:45:18 

   四角形の成立条件(？)について質問があります
   (文系プラチカ)
   四角形ABCDにおいて、
   AB＝BC＝1、CD＝2、DA＝x、∠ABC＝θ
   とする。このとき四角形ABCDに外接する円があるようにしながら、
   辺DAの長さxをさまざまに変えたとき、cosθの取りうる値の範囲を求めよ。
   という問題なのですが。
   解説に
   四角形ABCDが存在するための条件から、
   DC-CB-BA<AD<DC+CB+BA
   ∴2-1-1<x<2+1+1
   ∴0<x<4
   （逆に、これを満たすどんなxに対しても、四角形ABCDの対角の和A＋C、B+Dをそれぞれ180度に等しく出来るので、この四角形に外接する円を取ることが出来る）
   ・
   ・
   ・
   ・
   この「四角形が存在するための条件」というのが、いまいちピンときません。
   どなたか、解説お願いします。

8 ： スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/05(土) 22:49:25 

   >>7

   四本の棒で四角形を作ることを考えてみよう。

   一本だけ異常に長い棒があったら四角形作れないよね？
   これは絵でも書いてもらうと分かりやすいのだけど。

   あと、すでに３本は長さが決まってるから、残りの一本が短すぎても四角形は作れない。

9 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 22:50:35 

   >>7

   三角不等式みたいなものだよ。どの辺も他の3辺の和以上になることはない。

10 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 23:06:40 

   >>7

   まずある三角形ＡＢＣの存在条件は｜ＡＢ－ＡＣ｜＜ＢＣ＜ＡＢ＋ＡＣであり、これは△ＡＢＣを図で書くと、
   左辺では
   ｜ＡＢ－ＡＣ｜≧ＢＣだと、
   右辺では
   ＢＣ≧ＡＢ＋ＡＣだと
   三角形が潰れて（もしくは点Ａ、点Ｂ、点Ｃが一直線上になる）描けなくなることから明らか。

11 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 23:10:54 

   次に四角形で上のことと同様に描いてみる
   （四角形を描く時に潰れない条件を考えてみる）と
   ＣＤが足されても
   点Ａ、点Ｂ、点Ｃ、点Ｄが一直線になりそうなギリギリの図形で考えてみると考えやすい

25 ： スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 00:19:29 

   >>21

   その式が何処から出てきたのかわかんないけど、
   この問題は素直に置換積分したほうがいいと思うよ。
   置換後の形がすぐにひらめくのであれば不要だけど。

26 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00:21:11 

   さきほど、四角形の成立条件について質問したもの
   >>7
   ですが
   みなさんのアドバイスを参考に考え直してみました。

   四角形ABCDにおいて、対角線BDを引く。
   まず、△BCDについて、三角形の成立条件より
   ｜CD-BC｜<BD<CD+BC
   ∴1<BD<3
   次に、△ABDについて、三角形の成立条件より
   ｜BD-AB｜<DA<BD+AB
   ⇔｜BD-1｜<DA<BD+1
   これに1<BD<3をあわせると
   0<DA=x<4

   これで記述の試験でも大丈夫ですかね？
   確認お願いします。

26 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00:21:11 

   さきほど、四角形の成立条件について質問したもの
   >>7
   ですが
   みなさんのアドバイスを参考に考え直してみました。

   四角形ABCDにおいて、対角線BDを引く。
   まず、△BCDについて、三角形の成立条件より
   ｜CD-BC｜<BD<CD+BC
   ∴1<BD<3
   次に、△ABDについて、三角形の成立条件より
   ｜BD-AB｜<DA<BD+AB
   ⇔｜BD-1｜<DA<BD+1
   これに1<BD<3をあわせると
   0<DA=x<4

   これで記述の試験でも大丈夫ですかね？
   確認お願いします。

27 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 00:26:11 

   極のまま、あるθのときにできる円の面積を積分しようと思ったのですが
   確かに置換したほうが早いかもしれません

28 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:03:23 

   >>26

   いいと思う。
   十分条件を忘れずにな。

29 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:06:21 

   >>28

   すみません
   十分条件と言いますと、どういうことですか？

30 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:14:25 

   この問題で言うと
   0<ｘ<4…必要条件
   解答の()内…十分条件

   つまり
   必要条件は、それがないと題意が成り立たない。
   十分条件は必要条件が本当に題意を満たしているのかの確認。

   今は0<ｘ<4だけでは四角形はできても、円に内接することが示されていないから、その確認がいるってこと。

   集合と論理の分野で必要、十分ってのがあるけどわからなかったら気にしなくていいよ

38 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:27:52 

   >>30

   すみません。
   聞き忘れていたのですが、
   （逆に、これを満たすどんなxに対しても、
   四角形ABCDの対角の和A＋C、B+Dをそれぞれ180度に等しく出来るので、
   この四角形に外接する円を取ることが出来る）
   とは、どうやって分かったのか、教えてもらってもいいですか？

39 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:38:14 

   0<ｘ<4って出てきてるから数字を代入して確認したらいいと思う。
   大体は端、真ん中とかわかりやすそうな所を３つ代入して成立したらいける。
   例えば
   ｘ＝０だと図を描くと三角形ができる。

   ｘ＝４だと四角形内の２つの三角形で余弦定理を使うとcosθ＝－１となってθの範囲の端だとわかる。

40 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:43:07 

   なるほど、ありがとうございます！
   解答作成の際は、過程は誤魔化して書かずに、
   結論だけを書いておけば、大丈夫ですか？
   それと、()内を証明するなんてことになったときは、相当面倒ですか？

41 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 01:53:16 

   解答のように、結論だけでいいと思うよ。

   たぶん()内は証明する時間がないし、俺はできないｗ

   ちなみに、数学で確認作業は大事だよ。
   数値を代入できるのなら(角度とか数式)代入した方がいい。

   考えはあってるのに(1)で間違って後全滅なんてことにならないようにしないとね。

42 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 01:57:12 

   なるほど、ありがとうございます。
   確認を忘れないように気をつけます！
   それと、、、
   ｘ＝０だと図を描くと三角形ができる。と書いてあったんで考えてみたんですけど、
   ｘ＝０とは、ＡとＤが一致してＡ(=Ｄ)Ｃ=２となるときですよね？
   そのとき△Ａ(=Ｄ)ＢＣで余弦定理使うと。cosθ＝－１となって
   三角形が作れなくなってしまい、？？？となってしまいました。
   三角形が出来るのに、コサインが合わない、どういうことなんでしょうか？

43 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 02:03:46 

   >>42

   間違えた。三角形はできないよね。

   その時は１＋１＝２となりＡ、Ｂ、Ｃは一直線上になる。
   これは計算した通りcosθ＝－１とも合致している。

8

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 10:18:35 

   問１．頂角Ａが36度、辺ＢＣが１の二等辺三角形ＡＢＣにおいて
   底角Ｃの二等分線と線分ＡＢとの交点をＤとする
   このときのＢＤの長さを求めよ

   問２．{3-(5+√3)cos^2θ}/(sinθ+cosθ)＝-√3cosθ
   tanθを求めよ。ただし、0°≦θ≦90°とする。

   問１に関してはＤから辺ＡＣに垂線を下ろすと
   ちょうど中点であることくらいしかわかりませんでした
   問２は以下のとこまでいきました
   3-(5+√3)cos^2θ＝-√3cosθ(sinθ+cosθ)
   3-5cos^2θ-√3cos^2θ＝-√3sinθcosθ-√3cos^2θ
   3-5cos^2θ＝-√3sinθcosθ
   √3sinθcosθ-5cos^2θ＝-3
   cosθ(√3sinθ-5cosθ)＝-3
   sinθ(√3sinθ-5cosθ)＝-3tanθ

9 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/21(金) 10:46:52 

   >>8

   1
   正五角形とその対角線を書いてみる

   2
   > 3-(5+√3)cos^2θ＝-√3cosθ(sinθ+cosθ)
   両辺を cos^2θ で割って 1/cos^2θ=1+tan^2θ

73

： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13:41:03 

   異なる3点Ａ、Ｂ、Ｐについて、

   点Ｐは線分ＡＢを直径とする円周上にある　⇔　角ＡＰＢ＝９０°

   の、←の証明を教えてガリレオ

74 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13:42:43 

   >>73

   定義より明らか

75 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13:43:56 

   >>73

   定義より自明

86 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:13:18 

   >>73

   ABの中点をMとすると⊿AMPはAM=PMなる二等辺三角形

87 ： 73 [] 2011/02/06(日) 14:14:05 

   円周角の定理は、→の証明には使えると思うんですが、←の証明にどうやって使うんでしょうか。
   あと、「定義より自明」も気になります。よろしくお願いします

88 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:15:29 

   >>86
   の証明でうまくいきました。他に、
   ・円周角の定理を使った証明
   ・定義より自明
   これらを詳しくお願いします

89 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:18:08 

   >>88

   △ABPの外接円を考える。円の中心をOとすると∠AOBは？

90 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:20:04 

   >>89

   えっと、それは→の証明じゃないんでしょうか！？

91 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:22:42 

   外接円とした時点では、ABは直径でも何でもないその円のただの弦。

   ここが分からないなら、君には数学は無理だ。

92 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:24:03 

   円周角の定理より、∠AOB=90×2=180として、どうして←が言えるんでしょうか

93 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:25:27 

   ∠AOB=180°なら3点A、O、Bは一直線上にある。すなわちABは直径。

94 ： 73 [sage] 2011/02/06(日) 14:26:23 

   ABが円Oの直径⇔∠AOB=180
   でＯＫ？

102

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 14:38:43 

   円の周上に３点A,Q,Bがあり、点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にあるとき、
   ①点Pが円の内部にある→∠APB＞∠AQB
   ②点Pが円の外部にある→∠APB＜∠AQB
   教科書では、①は単にAPを延長して円との交点をP'として証明しているのに、
   ②はなぜか、線分ＡＢ上にA,Bとは異なる点Cをとり、直線CPと円周の交点をP'として証明しています。

   ②の証明は、別の観点からの証明というより、単純に労力が二倍になるだけだと思うんですが、なにがしたいのでしょうか？

113 ： 102 [sage] 2011/02/06(日) 15:25:09 

   ttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1351287473
   の図でも同じような、わざわざ点Ｃをとる証明がなされています。
   なぜみんなわざわざこんなことするの？

114 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15:27:51 

   それが分かりやすいから？

115 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15:31:09 

   線分APが弧ABと交点を持つとは限らないからだろ

117 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 15:51:24 

   >>115

   ほうほう。教科書は定理や証明を並べるだけじゃなくて、そういうことをちゃんと書いてほしいですな

120 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 16:20:37 

   >>117

   APと弧の交点で証明を進めていけばすぐ破綻に気づくだろ

124 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 16:31:27 

   >>120

   それに気づくのは結構難しいと思う。
   教科書の図も、普通にAPと（BPも）弧が交差してるし。
   弧が半円よりも短いときのケースとか、教科書に一言書いてくれてあったら、ここで君に出会うことも無かった。

160

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/24(月) 21:45:15 

   円 x^2 +y^2 =1 をある直線 l に関して折り返すと，点 (2, 0) で x 軸に接する．
   このとき，直線 l の方程式を求めよ

   折り返してx軸に接する…。わからないです。お願いします。

161 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/24(月) 22:31:22 

   >>160

   折り返した円の中心はどこにあるよ？
   折り返すんだから、直線 l は中心同士の垂直二等分線。

167

： １３２人目の素数さん [] 2011/01/24(月) 23:10:24 

   三角形ABCについて面積が√5であり
   ∠A=θとすると∠C=90°+θとなり
   辺ACの長さが1であったとする

   このとき辺ABとCBの長さを求めよ

   という問題でBC=6, CB=3√5が答えです

   とりあえずAB=x, Bc=yとおいて
   ycosθ=xsinθ=2√5
   cos^2+sin^2=1より(x+y)^2/(xy)^2 =20
   というところまでは求められたのですがそこで詰まりました

   ここから先の解説をいただけると幸いです

172 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 03:04:06 

   >>167

   制限低利より1/sin(90ｰ2θ)=y/sinθ

182

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 19:10:39 

   問題ttp://imepita.jp/20110125/677800


   解答ttp://imepita.jp/20110125/678540


   図のような、底面の半径r、高さhの直円錐を考える。その内部に図のように面ABCD、面EFGHを正方形とする直方体を考える。
   ここで頂点A,B,C,Dは直円錐の側面上にあり、頂点E,F,G,Hは直円錐の底面上にあるものとする。このとき次の問いに答えよ。
   (1)直方体の高さをxとするとき、直方体の体積をr,h,xの式で表せ。
   (2)直方体の体積を最大にするようた高さxを求めよ。また、そのときの体積を求めよ。

   という問題で、
   俺は(1)で、△OIC相似△OJLよりOI:IC=OJ:JL
   ⇔(h-x):IC=h:r
   ⇔IC=r(h-x)/h
   よって、正方形ABCDの一辺の長さは2IC=2r(h-x)/hとしたんですけど間違ってました
   解答は、正方形ABCDの一辺の長さをyとすると、IC=AC/2=y/(√2)
   OI:IC=OJ:JLより(h-x):y/(√2)=h:r
   これよりy=(√2)r(h-x)/hとなっていました
   これで結局体積も違ってきてしまいます
   どこが違うのか分からないんで教えてください

   あとレス代行してもらってるのど返信が遅れるかもしれません

183 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 20:47:04 

   >>182

   ACは正方形ABCDの対角線

184 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/25(火) 20:53:30 

   >>182

   2ICってACだろ？
   ACは対角線だよ。求めるのはその1/√2。

211

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 22:31:34 

   正四面体ってすごい綺麗な形してると思うんですが
   4つの面は正三角形です
   底面を固定すると3つの面が頂点で1つになります

   このときってそれぞれの面が底面から何度傾いているかって分からないんですか？
   60°ですか？

213 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 22:40:00 

   >>211

   高さを出して余弦定理

214 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/26(水) 22:40:48 

   >211
   3辺 2 √3 √3

313

： １３２人目の素数さん [] 2011/01/29(土) 12:51:13 

   角Bが直角でAB＝BC＝1の直角二等辺三角形がある。
   辺BC上に点Dをとり、三角形ABDの内接円の半径と、三角形ADCの内接円の半径が等しくなるようにする。
   このときBDの長さはいくらか。

   これはどのように考えればいいでしょうか。
   ｒ＝S/sを使うのかなと思いましたが辺の長さがわかりまｓんし。

314 ： スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/29(土) 13:31:43 

   AB=BC=1で角Bが直角なら
   AC=√2

412

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 08:42:48 

   平面図形の定理の証明です.
   △ABCにおいて∠Aの外角二等分線と辺BCの延長線上が交わり,その交点をDとしたとき　AB:AC=BD:BC

   これを証明しろという問題です.
   ヒントとしてAB>ACのときとAB<ACのときに場合分けしろ,と書いてありましたがわかりません.
   どなたかお願いします.

417 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 10:43:36 

   >>412

   問題自体が間違ってるからな
   AB:ACはBD:CDと等しいぜ

   ヒント
   DからABに平行な直線を引いてみよう

419 ： 412 [sage] 2011/01/11(火) 11:25:43 

   >>417

   すいません、問題を写し間違えました。

   AB>ACはCを通りADと平行な直線とABの交点をXとして、錯角や同位角を用いて証明できましたが、
   AB<ACの場合をどうすればいいかわかりません。

420 ： 412 [sage] 2011/01/11(火) 11:33:37 

   自己解決しました

464

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 21:49:32 

   直方体ABCD-EFGHにおいて、ＡＢ＝3、ＡＤ=4、ＡＥ＝２であるとき、次のものを求めよ。

   ・ＢＤＥの面積Ｓ
   ・四面体ＡＢＤＥの体積Ｖ
   ・原点Ａから平面ＢＤＥにおろした乗線の長さ

466 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 22:29:24 

   >>464

   三角形ＢＤＥの各辺の長さを三平方の定理で求めると、
   BD=√25=5
   DE=√20=2√5
   EB=√13
   一番短い辺EBの対角Dの余弦(cosD)を余弦定理で求める。
   cosD=(25+20-13)/(2*(2√5)*5)=32/(2*2*5√5)=8/(5√5)
   ∴sinD=√{1-(8/(5√5))^2}=√(61/125)=(√61)/(5√5)
   （有理化しない方が計算が楽に済むことが多い。）
   （一番短い辺BDの対角Dは鋭角になるから、sinD>0）
   ∴S=(1/2)*(2√5)*5*{(√61)/(5√5)}=√61
   四面体ABDEについて、三角形ADEを底面、辺ABを高さとみれば体積は、
   (1/3)*{(1/2)*4*2}*3=4
   （四面体ABDEの体積は、直方体ABCD-EFGHの1/6だから、(2*3*4)/6=4としてもよい。）
   点Aから平面BDEに下ろした垂線と平面BDEの交点をIとする。
   四面体ABDEについて、三角形BDEを底面、辺AIを高さとみれば、
   (1/3)*(√61)*AI=4
   より、AI=12/√61

475 ： 466 [sage] 2011/01/11(火) 22:51:37 

   >>467-468

   一番短い辺BDの対角Dは鋭角になるから、sinD>0は要らんかったね。
   三角形の内角だから結局sinDもsinEもsinBも正だったわ。

505

： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 19:14:51 

   半径３５５，６ミリの円があり、その弧の上に点A、Bがある。
   AとBとの間に直線距離を引き、長さを図ると５４ミリあった。
   この直線ABを１０，８ミリごとに５等分する点を４つ置き（円の中心から見て左からa,b,c,d,）
   そこから円の外側の（近い側の）孤に交わる直角の線をそれぞれ引く。

   このa,b,c,d,の各地点から円の孤までの線の長さをそれぞれ求めよ。

  　

506 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 19:23:58 

   >>505

   解法のみ

   円の中心をOとし、A,Bの中点をCと置こう。
   三角形OACに３平方の定理を使うと
   OCの長さが分かる。

   Ca,Cb,の長さは分かるので、
   三平方の定理を順に適用して
   Oa,Obの長さを求めることができる。

   a,b,c,dから円の弧までの長さはそれぞれ
   半径からOa.Obの長さを引けば求められる。

   なお、OaとObについてのみ計算すればOdとOcは対象性から分かる。

510 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 19:53:29 

   >>506

   求めるのは
   直線ABから「直角に出て」弧に交わるまでの線の長さ」ではないですか？

511 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:04:32 

   >>510

   そうみたいね。
   すっかり馬鹿に成ったなぁ。
   昔から誤解答は良くやってたけど

512 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20:09:02 

   >>510

   直角というかABから垂直に出る線が一番近い円の弧とぶるかるまでのそれぞれの距離だよね
   これどういう公式使うのかな？良く解らんなあ
   >>505

513 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20:11:56 

   単純に三角関数じゃねえか？

514 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:13:49 

   座標平面や三角関数無しで解きたかったけど無理っぽい。

515 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 20:15:14 

   > そこから円の外側の（近い側の）孤に交わる直角の線をそれぞれ引く。

520 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:48:28 

   >>505

   点aで弦ABと垂直に交わる直線を考える。
   この直線と円の交点をE,Fとする。aに近いほうがE
   (求める長さはaE)

   で、円の中心とこの弦EFの距離は
   aCの距離に等しいので求まる。

   半径OEの長さも分かるので、
   三平方の定理からEFの長さが求まる。

   (EFの長さ) - (OCの長さ)

   を２で割ったものが求めるaEの長さ。

521 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 20:49:29 

   失礼。
   (EFの長さ)/2 - (OCの長さ)
   がaEの長さ。

524 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/12(水) 21:16:18 

   >>520

   ふむ。解析中。

527 ： 菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/01/12(水) 21:31:31 

   >>524

   ちょっと分かりにくいよね。

   手ごろなupロダがあればいいのだけど。

   EとFの中点をGと置いて、
   三角形OEGに注目すると分かりやすいかも。

540 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/13(木) 00:54:18 

   >>527

   解析しました。
   >>505
   の数値で計算するとaE＝0.6573ミリとでました！（簡易計算機なんで大体の近似値です。
   素晴らしい！脱帽です
   　

541 ： 540 [] 2011/01/13(木) 01:07:18 

   >>527

   ｂEも出ました。0.9855ミリでした。
   三平方だけで出来ましたね。面白かった！

538

： １３２人目の素数さん [] 2011/01/13(木) 00:09:02 

   円に内接する四角形ABCDがある。
   AB=6、AD=8、BD=10、BC=CD、AC>ADである。

   1、∠BAD
   2、∠BCD
   3、∠CAD
   4、ACの長さ
   5、sin∠ADC　をそれぞれ求めよ。

   という問題で、
   1と2は、△ABDで辺の比が 5:4:3なので90度、向かい合う角も90度。
   4は、　BC=CDで、斜辺の長さが10の二等辺直角三角形なので BC=CD=5√2
   　これで四辺の長さが分かるので、cos∠ADCを求めて、AC=の形で余弦定理を使って求めて、
   　AC=8^2+5√2-2*8*5√2cos∠ADCで求める
   5は、4でcos∠ADCを　1-cos^2∠ADCで求める

   3も、4を求めた後、△ADCの三辺の長さから求められる、と思うのですが
   それだと問題の順がなにか変な感じがするのですが、これはもっと簡単に∠CADがわかるもの
   なのでしょうか？

545 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 15:28:45 

   >>538

   (3)は円周角

551

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17:45:50 

   教えてください。
   △ABCにおいて、AB＝6、AC=3、∠A=120°である。
   頂点Aと辺BCの中点Mを結んだ線分の長さAMは？
   答えは、3√3/2ですが、これは内接円の半径rで解いても
   正弦定理の外接円で解いても答えが違うのですがどうやって解くんですか？

   円は関係ない場合の解き方がわかりません。

553 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17:53:00 

   >551
   ACをAの方に延長して、Bから垂線をおろす。

554 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/13(木) 17:56:50 

   >>553

   Bから垂線下しても真ん中のMの計算がわかりません

670

： １３２人目の素数さん [] 2011/02/02(水) 18:57:31 

   10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0が2直線をあらわし時のkを求めよ。ただしkは整数とする。

   （px+qy+r)(sx+ty+u)=0の形にすればいいのは分かるって

   とりあえずyの2次方程式としてみたんですがその後どうすれば良いかわかりません

   ちなみにこんな感じになりました

   2y^2+(kx-4)y+(10x^2+9x-2)=0

672 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 19:15:40 

   >>670

   計算おかしい気がするが後ろを因数分解して襷掛けを考える

673 ： 672 [sage] 2011/02/02(水) 19:21:52 

   後ろってのは10x^2-9x+2のことな

676 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/02(水) 19:31:14 

   >>670

   10x^2-9x+2=(5x-2)(2x-1)
   2y^2-4y+2=(2y-2)(y-1)だから
   因数分解の結果は(5x+2y-2)(2x+y-1)になるよ

691

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 18:16:51 

   ttp://imepita.jp/20110114/611700


   図は1辺が4cmの立方体、点A、P、Qを通る平面と
   点B、Q、Rを通る平面とで切断し、２つの三角錐を切り取って作った立方体である。
   3点P、Q、Rは立方体の各辺と中点であるとする。
   体積と面積を答えよ。

   さっぱりわかりません。
   立方体の体積4*4*4＝64
   こっからどうすればいいですか？

705 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 21:30:33 

   >>703

   切り取った三角錐それぞれの体積を求める

708 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 22:49:21 

   >>691

   切り取られた三角錐の体積を求めて引く。

804

： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/17(月) 00:33:52 

   平面x+2y+3z=6について、原点を通り、この平面に垂直に交わる直線の方程式を求めよ。

   わかりそうでわかりません。どなたかよろしくお願いします。

805 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/17(月) 00:55:22 

   >>804

   法線ベクトル(1, 2, 3)

806 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/17(月) 01:00:34 

   >>805

   x=y/2=z/3　ですね、ありがとうございますた

849

： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 16:12:39 

   一つの円に関して
   中心角が等しい⇔対応する弧が等しい
   の証明を考え＆探しているんですが、よくわかりません。
   ttp://ziddy.japan.zdnet.com/qa3460606.html
   このベストアンサーは、循環しているように思います。
   （任意の円周角に対応する弧上の点が一意に取れて、同じことをした弧と「ぴったり一致する」、のであれば、その事実を最初から証明に使えばよい）
   ＧＯＯＤな証明をご存知の方、よろしくお願いします。

850 ： 849 [] 2011/02/04(金) 16:18:12 

   ちなみに、「ぴったり一致する」ことを最初から使った説明は
   ttp://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page078.html
   このようになると思いますが、これでは納得できないという人は、どうしたらいいでしょうか

851 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 16:20:17 

   >>849

   「角が等しい」と「弧が等しい」をそれぞれどう定義するの？

852 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 16:24:27 

   >>851

   わかりません。そこからなにか解決策があるなら、私に質問する前に定義と証明をお願いします。

853 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 16:32:52 

   弧長/半径で中心角を定義したらほぼ自明じゃね？

854 ： 849 [sage] 2011/02/04(金) 16:42:07 

   >>853

   中心角を弧長で、あるいは弧を中心角で定義すれば、確かに自明ですが、
   少なくとも教育課程ではそのような定義はされてないですから、中学生にはどう説明しているんでしょう？
   また、そのような定義をするにしても、その定義でいい理由として、
   中心角が等しい＝弧が等しい
   あるいは
   中心角の大きさと弧の長さが比例する
   のようなことが直観的理解として必要であるように思います。
   結局、どちらにしても直観に頼るしかないのでしょうか？

861 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17:54:32 

   >>859

   この辺を勉強しては如何
   ttp://www.amazon.co.jp/dp/4320015134
   ttp://www.amazon.co.jp/dp/4480089535

876 ： スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/04(金) 20:53:42 

   中学生のレベルでって言うならある程度直感に頼るのはしょうがないんじゃないの。

   中心角と半径を指定したとき扇形は一通りしか作図できないから
   弧の長さは一定って話。

   この作図が一通りってのは書けば明らかなんだけど、
   >>875
   のいう直感的な説明でしかないし。

881 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 21:03:17 

   >>875

   扇を作る二つの半径と弦とで出来る三角形は半径と中心角が等しければ合同ってのではダメなの？
   合同だから三角形はぴったり重なり、そのとき弧がぴったり重ならないとすると
   中心からの距離が半径ではない部分がどちらかにあることになって矛盾するから、弧もぴったり重なる。

894 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 21:53:39 

   >>854

   中学レベルでは割と曖昧なことしか言えません。

   初等幾何学の範疇では角度と円周の長さを独立に定義できないので、初等幾何
   での証明ではあなたの満足するものは得られないと思います。しかし数学的に
   厳密な論理的整合性のある体系は整理されています。
   「計量」または「内積」なるものを定義して、そこから角度や曲線の長さを
   定義します。もちろん初等幾何学からの結果に整合的であるようになってい
   ます。詳しくは解析学を勉強してください。
   しかし結局は初等幾何的な直観を念頭に置いています。

889

： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21:33:17 

   平面上に四角形OABCが与えられている。ここでOは原点とする。4点O,A,B,Cから3点を選び、この3点を頂点とする三角形の重心をGとし、残りの1点とGを端点とする線分をm:nに内分する点をPとする。ただしm,nは正数である。
   4点O,A,B,Cの中から3点をどのように選んでも、その結果得られる点Pが同じ点になるようなm,nの比を求めて下さい。

891 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21:40:10 

   四角形OABCを正方形としと考えていいですか？

892 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 21:44:25 

   a＞0としてO(0,0),A(a,0),B(a,a),C(0,a)で考えていいですか？

903 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 23:36:14 

   >>901

   >>892
   この質問なら答えはダメ
   あらゆる四角形OABCについ述べないといけないから、
   O(0,0),A(xa,ya),B(xb,yb),C(xc,yc)
   とか置かないといけない 

   どこまで習っているか、進度によって解答が変わるんだから…

905 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/04(金) 23:38:12 

   >>903

   やはり四角形の形を特定してはいけないんですね。
   3Cまで履修しています。

907 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 23:45:32 

   >>905

   なら、
   >>903
   のように各点を置いてもよし、
   ベクトルを使ってもよし
   各三角形でそれぞれのPを求めて、P同士を比較すればいい

911 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 00:11:40 

   >>889

   3:1

941

： １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 23:05:27 

   凸四角形ABCDにおいて
   AC=1 0<∠ACB=∠ACD<π/2 ∠BAD=π/2
   このとき三角形BCDの面積Sの最大値を求めよ

   よろしくお願いします。

942 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 23:09:49 

   S=1/2bcsinA

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最終更新：2011年03月05日 13:44
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