数学その２～正多角形と公約数～ - 倉庫ーSOUKO−

数学その２　正多角形と公約数

問題

(a)ある円に内接する正2525角形と正4545角形の交点の個数を求めよ。ただし、この二つの正多角形は、円周上では交わらないものとする。

(b)次に、
「ある円上の一点を共通の頂点」・・・(＊)
とし、その点を始点に描いた、円に内接する正多角形を考える。
(1)(＊)の条件の下で描いた正8角形と正7角形の交点の個数を求めよ。
(2)(＊)の条件の下で描いた正2010角形と正18角形の交点の個数を求めよ。
※共通の頂点も交点として数えるものとする。

解説（略解）

(a)
円周上で交わらないということは、
二つの正多角形は共通の頂点をもたず、
多角形の辺どうしで交わっているということを指す。・・・(A)

交点は、頂点数の少ないほうの正多角形である、
正2525角形の頂点の両端に存在する。・・・(B)

(A)と(B)の2つの考察より、
正2525角形の1辺に対し、2つの交点が存在するので、
2525×2＝5050(個)

(b)
次に、ある円上の一点を共通の頂点として定めた場合を考察する。
正多角形の辺はすべて等しい長さである・・・(C)
円周上の2本の弦の長さが等しいならば、
それに対応する弧の長さも等しい・・・（D)

(C)、(D)より、
正多角形の頂点は、円をその頂点の数だけ等分することが分かる。
たとえば、正8角形の頂点は円を8等分し、
正2525角形の頂点は円を2525等分する、といった具合である。

したがって、2つの正多角形の共通の頂点を考える場合、
共通の頂点の個数は、
「二つの正多角形の頂点の個数の最大公約数」・・・(E)
に等しいことが分かる。

以上の考察より、

(1)
8と7は互いに素であるから、共通の頂点は、
始点とした点の一点のみである。
それ以外の交点は、(a)での考察の通り、
正7角形の頂点の両端に存在するので、
6×2＋1＝13(個)

(2)
18と2010を素因数分解すると、
18＝2×3^2
2010＝2×3×5×67
したがって、18と2010の最大公約数は6
考察(E)より、二つの正多角形の共通の頂点の個数は6個である。
それ以外の12個の頂点の両端で、二つの正多角形は交わるので、
6＋12×2＝30(個)

一見取り掛かりづらい問題だが、よく考察すると、
計算のレベルは小学生くらいである。

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