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このページでは\text{GP}は等比数列(geometric progression)を表す。

漸化式
a_{n+1} = p a_n + q , \quad p\neq 1 \tag{1}
を満たす数列を考える。



2つの数列{b_n}, {c_n}は漸化式(1)を満たしているとする。つまり
b_{n+1} = p b_n + q \tag{2}
c_{n+1} = p c_n + q \tag{3}
を満たしている。(2)と(3)の差をとると
(b_{n+1} - c_{n+1}) = p (b_n - c_n) \tag{4}
を得る。(4)は数列 \{ b_n - c_n \}が等比数列ということを意味している。よって
b_n = \text{GP} + c_n
という関係が得られる。

初項b_1が与えられたとき、なんらかの方法でc_nが見つかったとすると、これに等比数列を足すことで一般項{b_n}が求められる。ここでc_nは漸化式(1)を満たすものならどんなものでもよい。


(1)を満たすなるべく簡単な数列として、定数からなる数列を考えてみよう。この定数を\alphaとすると、
\alpha = p \alpha + q \tag{5}
を満たす定数である。(5)を特性方程式とよぶ。
漸化式a_{n+1} = p a_nは、pが公比の等比数列だから
a_n = a_1 p^{n-1}
である。したがって漸化式(1)を満たす数列{b_n}の一般項は
b_n = a_1 p^{n-1} + \alpha
となる。ここでb_1 = a_1 + \alpha を満たすから、 a_1 = b_1 - \alphaを得る。したがって
b_n = (b_1 - \alpha ) p^{n-1} + \alpha
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最終更新：2014年02月21日 05:28