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フーリエ変換

最終更新：2009年01月06日 12:26

nina_a

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フーリエ変換

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概要

　フーリエ変換とはフーリエ級数展開をより一般的な関数に適用した物である。
　フーリエ変換は以下の式で表される。

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{cis}(-\omega t)\,\mathrm{dt}$

　フーリエ逆変換は以下の式で表される。

$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\mathrm{cis}(\omega t)\,\mathrm{dt}$

解説

　複素指数関数表現によるフーリエ級数展開は以下の式で表される。
$(1)\qquad f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\cdot\mathrm{cis}(n\omega_0t)$
$(2)\qquad C_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)\cdot\mathrm{cis}(-n\omega_0t)\,\mathrm{dt}$
　ここで $T_0\rightarrow\infty$ とするとフーリエ変換の式が得られる。(2)を(1)に代入すると、
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(\tau)\mathrm{cis}(-n\omega_0\tau)\,\mathrm{d\tau}\right\}\mathrm{cis}(n\omega_0t)$
$T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$ より、
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\omega_0\left\{\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(\tau)\mathrm{cis}(-n\omega_0\tau)\,\mathrm{d\tau}\right\}\mathrm{cis}(n\omega_0t)$
　 $\omega_0\rightarrow 0\;(T_0\rightarrow\infty)$ なので、 $\omega_0=\Delta\omega$ と置くと、
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta\omega\left\{\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(\tau)\mathrm{cis}(-n\Delta\omega\tau)\,\mathrm{d\tau}\right\}\mathrm{cis}(n\Delta\omega t)$
　ここで、累算 $\sum$ を積分 $\int$ に置き換えると（ $\Delta\omega\rightarrow\mathrm{d\omega}$ 、 $n\Delta\omega\rightarrow\omega$ ）、
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d\omega}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\mathrm{cis}(-\omega\tau)\,\mathrm{d\tau}\right\}\mathrm{cis}(\omega t)$
　 $=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\mathrm{cis}(-\omega\tau)\,\mathrm{d\tau}\right\}\mathrm{cis}(\omega t)\mathrm{d\omega}$
　ここで上式の意味について考えてみる。フーリエ級数展開では(2)式によって係数を求め、(1)式によってf(t)を復元していた。上式も考え方は同様で、 $f(t)$ と $\mathrm{cis}(-\omega\tau)$ との積の積分によって変換した結果を、さらに $\mathrm{cis}(\omega\tau)$ との積の積分によってf(t)を復元している、と考えることが出来る。そこで $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\mathrm{cis}(-\omega\tau)\,\mathrm{d\tau}$ と置くと、
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{cis}(\omega t)\,\mathrm{dt}$
となり、フーリエ変換、およびフーリエ逆変換の式が得られる。

カテゴリ：MISC

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