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関数の内積

最終更新：2009年01月14日 18:08

nina_a

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関数の内積

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概要

　区間 $-\frac{T}{2}\leq x\leq\frac{T}{2}$ で定義された関数f、gの内積を

$\langle f,g\rangle \equiv\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\cdot g(x) \,\mathrm{dx}$

と定義する。
　このとき $\langle f,f\rangle\geq 0$ であり、等号成立は $f(x)=0$ の場合に限られる。
　また、 $||f(x)||=\sqrt{\langle f,f\rangle}$ を $f(x)$ のノルムという。

関数の直交

　恒等的に0でない2つの関数fとgの内積が0であるとき、fとgは直交するという（ベクトルと同じ）。

$\langle f,g\rangle =0 \,\Leftrightarrow$ 互いに直交する
ただし、 $\langle f,f\rangle \neq 0$ かつ $\langle g,g\rangle \neq 0$

直交関数系

　関数列 $\{f_1, f_2, \cdots, f_n\}$ の各要素が互いに直交するとき、すなわち
$\begin{cases} \langle f_i,f_j\rangle = 0 \qquad (i\neq j)\\ \langle f_i,f_i\rangle \neq 0 \end{cases}$
が成り立つとき、この関数列は直交系を成すといい、この関数列のことを直交関数系（直交関数列）という。

正規直交系

　関数 $f_n(x)$ に対し $\phi_n(x)\equiv\frac{f_n(x)}{||f_n(x)||}$ とすると、関数列 $\{\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n\}$ は、
$\begin{cases} \langle \phi_i,\phi_j\rangle = 0 \qquad (i\neq j)\\ \langle \phi_i,\phi_i\rangle = 1 \end{cases}$
を満たす。この時、この関数列は正規直交系を成すという。

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