「閉包をとる」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら
閉包をとる - (2011/05/07 (土) 21:22:03) の１つ前との変更点
追加された行は緑色になります。
削除された行は赤色になります。
※点列閉包は，第一可算の場合に限って閉包と一致する。
<math>\left \{ \lim_{n \to \infty} a_n | (a_n) \subset A \right \} \subset \overline{A}</math>
=距離空間=
<math>(X,d)</math> metric space
'''Def. 距離空間における閉包'''
触点の全体
i.e.
<math>A \subset X</math>
<math>x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ {}^\forall \epsilon >0 \ B_\epsilon(x) \cap A \neq \emptyset</math>
'''Lem. 内部と境界の非交和'''
<math>\overline{A} = A^\circ \cup \partial A </math>
'''Lem. Aとの距離が0の点'''
<math>x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ \inf_{a \in A} d(x,a) = 0</math>
'''Lem. 最小の閉集合'''
<math>\overline{A}</math>は，Aを含む最小の閉集合
=位相空間=
<math>(X, \mathcal{O})</math> top. space
'''Def. 位相空間における閉包'''
<math>\overline{A} := \bigcap_{ A \subset F, F^c \in \mathcal{O} } F</math>
i.e. Aを含む最小の閉集合
=ユークリッド空間=
<math>( \mathbb{R}^n, d_E )</math>
1. Aの任意の点列の'''収束先を全て'''含めた集合 ←点列閉包。第一可算の場合に閉包と一致する。
<math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n \in \overline{A}</math>
2. Aの'''内部と境界'''を含めた集合
<math>\overline{A} = A^\circ \cup \partial A </math> 非交和
3. Aを含む閉集合全ての'''共通部分'''
<math> \bigcap \left \{ F | A \subset F \textrm{;closed } \right \}</math>
4. Aを含む'''最小の閉集合'''
<math>A \subset F \textrm{;closed } \Rightarrow \overline{A} \subset F</math>
（※ '''R'''<sup>n</sup>の通常の位相に限らなければ，Zariski閉包という例もある。）
'''「Xの位相で閉包をとる」'''
同じ集合上に複数のノルム（や，その他の位相）を考えているときに出てくる表現
<math>\overline{A}^X</math>
Xのノルムで収束するAの点列の収束先を全て含めた集合
特に'''稠密'''を考えているときは，どのノルムを使うかで当然どこで稠密になるかも変わってくる！
'''定理'''
1. 有限個の和集合の閉包は，閉包の和集合と等しい。
1'. 無限個のときは，あとからまとめて閉包をとった方がでかい。
2. 任意個の交わりの閉包は，閉包の交わりの部分集合になる。
※点列閉包は，第一可算の場合に限って閉包と一致する。
<math>\left \{ \lim_{n \to \infty} a_n | (a_n) \subset A \right \} \subset \overline{A}</math>
=距離空間=
<math>(X,d)</math> metric space
'''Def. 距離空間における閉包'''
触点の全体
i.e.
<math>A \subset X</math>
<math>x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ {}^\forall \epsilon >0 \ B_\epsilon(x) \cap A \neq \emptyset</math>
'''Lem. 内部と境界の非交和'''
<math>\overline{A} = A^\circ \cup \partial A </math>
'''Lem. Aとの距離が0の点'''
<math>x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ \inf_{a \in A} d(x,a) = 0</math>
'''Lem. 最小の閉集合'''
<math>\overline{A}</math>は，Aを含む最小の閉集合
=位相空間=
<math>(X, \mathcal{O})</math> top. space
'''Def. 位相空間における閉包'''
<math>\overline{A} := \bigcap_{ A \subset F, F^c \in \mathcal{O} } F</math>
i.e. Aを含む最小の閉集合
'''Th. 各近傍が交わる'''
<math>x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ {}^\forall N \in \mathcal{N}(x) : N \cap A \neq \umptyset</math>
=ユークリッド空間=
<math>( \mathbb{R}^n, d_E )</math>
1. Aの任意の点列の'''収束先を全て'''含めた集合 ←点列閉包。第一可算の場合に閉包と一致する。
<math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n \in \overline{A}</math>
2. Aの'''内部と境界'''を含めた集合
<math>\overline{A} = A^\circ \cup \partial A </math> 非交和
3. Aを含む閉集合全ての'''共通部分'''
<math> \bigcap \left \{ F | A \subset F \textrm{;closed } \right \}</math>
4. Aを含む'''最小の閉集合'''
<math>A \subset F \textrm{;closed } \Rightarrow \overline{A} \subset F</math>
（※ '''R'''<sup>n</sup>の通常の位相に限らなければ，Zariski閉包という例もある。）
'''「Xの位相で閉包をとる」'''
同じ集合上に複数のノルム（や，その他の位相）を考えているときに出てくる表現
<math>\overline{A}^X</math>
Xのノルムで収束するAの点列の収束先を全て含めた集合
特に'''稠密'''を考えているときは，どのノルムを使うかで当然どこで稠密になるかも変わってくる！
'''定理'''
1. 有限個の和集合の閉包は，閉包の和集合と等しい。
1'. 無限個のときは，あとからまとめて閉包をとった方がでかい。
2. 任意個の交わりの閉包は，閉包の交わりの部分集合になる。
