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閉包をとる

※点列閉包は，第一可算の場合に限って閉包と一致する。
\left \{ \lim_{n \to \infty} a_n | (a_n) \subset A \right \} \subset \overline{A}

距離空間

(X,d) metric space

Def. 距離空間における閉包
触点の全体
i.e.
A \subset X
x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ {}^\forall \epsilon >0 \ B_\epsilon(x) \cap A \neq \emptyset

Lem. 内部と境界の非交和
\overline{A} = A^\circ \cup \partial A 

Lem. Aとの距離が0の点
x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ \inf_{a \in A} d(x,a) = 0

Lem. 最小の閉集合
\overline{A}は，Aを含む最小の閉集合

位相空間

(X, \mathcal{O}) top. space

Def. 位相空間における閉包
\overline{A} := \bigcap_{ A \subset F, F^c \in \mathcal{O} } F
i.e. Aを含む最小の閉集合

Th. 各近傍が交わる
x \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \ {}^\forall N \in \mathcal{N}(x) : N \cap A \neq \umptyset

ユークリッド空間

( \mathbb{R}^n, d_E )

1. Aの任意の点列の収束先を全て含めた集合 ←点列閉包。第一可算の場合に閉包と一致する。
　(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n \in \overline{A}
2. Aの内部と境界を含めた集合
　\overline{A} = A^\circ \cup \partial A  非交和
3. Aを含む閉集合全ての共通部分
　 \bigcap \left \{ F | A \subset F \textrm{;closed } \right \}
4. Aを含む最小の閉集合
　A \subset F \textrm{;closed } \Rightarrow \overline{A} \subset F

（※ Rnの通常の位相に限らなければ，Zariski閉包という例もある。）

「Xの位相で閉包をとる」
同じ集合上に複数のノルム（や，その他の位相）を考えているときに出てくる表現
\overline{A}^X
Xのノルムで収束するAの点列の収束先を全て含めた集合
特に稠密を考えているときは，どのノルムを使うかで当然どこで稠密になるかも変わってくる！

定理
1. 有限個の和集合の閉包は，閉包の和集合と等しい。
1'. 無限個のときは，あとからまとめて閉包をとった方がでかい。
2. 任意個の交わりの閉包は，閉包の交わりの部分集合になる。
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最終更新：2011年05月07日 21:22
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